组合数学（2）——组合矩阵

0. (0,1)矩阵

首先我们来介绍（0，1）矩阵以及与之相关的一些定义和性质。
（0，1）矩阵顾名思义，应该是一个只有0和1组成的矩阵，它的形式化定义为：

那么它有什么特殊的地方呢？下面我们来看看它的一些用处。

1. 关联矩阵

关联矩阵用来描述非空集合各元素和其子集之间关系的矩阵。它的形式化定义如下：

1.1. 置换、置换矩阵和置换方阵

这里为什么突然又讲置换了呢？因为关联矩阵的很多性质和置换有关。

在组合数学中，置换一词的传统意义是一个有序序列，其中元素不重复，但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换，但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。

这个意思其实就是有序序列的重排列，只是不需要完全包含原来的所有元素。那么对于一个序列是这样，对于一个矩阵，自然而然的有置换矩阵和置换方阵，下面先给出其定义：

其实这个东西在我们之前学习线性代数里已经学过，就是左乘变换行的位置，右乘变换列的位置。只不过这里我们进行了定义和证明。

1.2. 置换矩阵的性质

上面是给出了置换矩阵和方阵的定义，下面说说置换矩阵的3条性质。

• 关于大小的性质
  
  从这个定理中，可以知道置换矩阵都是一个扁的长方形矩阵，下面给出证明：
  
• 关于形状的性质
  
  这里介绍了置换矩阵的样子，也就是每行恰好只有1个1，其他全为0，而每列不能超过1个1。这其实也是一个保持矩阵置换后，行列不会出现相加减的情况。为定理7.1.3打下基础。下面给出证明：
  
• 关于置换矩阵的作用的性质
  
  这个就是很明显了，为了完成矩阵的置换，其实就是调换矩阵的行与列的位置。尽管这些我们都明白，但是我们还是要给出证明：
  

1.3. 关联矩阵的性质

• 关联矩阵左右相乘的意义：
  这告诉我们$A{A}^T$的意义是获得两两子集的交集的元素数量，而$A^{T}A$的意义是包含两两元素的子集的个数，这两者正好是个相反的操作。下面给出证明：
  
• 矩阵的线秩和项秩
  在给出定理7.1.5之前，我们首先介绍矩阵的线秩和项秩：
  项秩(term rank)是矩阵的一个指标，设A是m×n的(0，1)矩阵，A中两两不在同一线(矩阵的一行或一列都称为矩阵的一条线)上的1的最大个数称为A的项秩。
  线秩(line rank)是矩阵的一个指标，设A是m×n的(0，1)矩阵，A的行与列统称为线，包含A的全部1的最小线数称为A的线秩。

有了这个，我们就可以说明定理7.1.5了：

其实这里的M就是项秩，m就是线秩。这个是不是和上一节的最大匹配和最小覆盖有点相似？没错。下面我们给出证明：

• 置换矩阵的应用
  
  可以看到，这其实就是使用l个置换矩阵P进行拟合一个特定的矩阵。其证明如下：
  
  这里可以推出关于（0,1）方阵的特殊性质：
  
  这里只是上面定理的一个特殊例子，同样适用于双随机矩阵相关性质的证明。证明如下：
  

2 积和式

积和式是一个新的东西，有点类似行列式，就是一种计算矩阵的方法。

说白了就是计算行列式的时候，不要带那个正负号就是积和式了。

• 积和式Per A的性质1
  
  这个性质解释了积和式与相异代表系之间的关系，下面给出证明：
  
  而且，相异代表系的个数等于其积和式：
  
  下面给出证明（真的是一个定理一个证明）：
  
• 积和式与常数的乘法
  
  其实和矩阵与常数的乘法一样，下面给出证明：
  
• 积和式的恒等变换
  
  交换行列位置，最后还是这些数，当然是相等的，就像行列式一样的。
• 积和式按位相加
  
  这些都是和行列式类似的证明方法，这里不做更细节的证明。

积和式的计算方法除了最原始的计算方法外，还有一种计算方法：


这个更像是二项式展开式，对吧？下面给出证明：

3. （0,1）矩阵类U（R,S）

这里首先看标题，知道是讲（0,1）矩阵的，那么矩阵类是什么呢？想一想编程、自然、语言里，类表示满足一系列特征的对象的总和。那么其特征是什么呢？就是这里的R和S。
这里先给出R和S的定义：

然后，我们给出矩阵类的定义：

那么如果一个行向量是递减的，那么就可以将（0,1）矩阵规范为极左矩阵：

这里介绍一个定义，就是向量优于向量：

那么存在一个显而易见的命题：

这个命题无关紧要（结论是显而易见的，证明也是显而易见的），但是下一个证明则是比较重要的了，给出一个命题：

下面给出证明过程：

这个证明比较复杂，下面一个例子比较容易介绍这个过程：

下面是其变化过程，主要就是从左到右移位1，每次只能移动其最右列的那1，满足列的数目即可。

那么属于一个矩阵类的两个矩阵A,A’，是不是能够通过这种变换完成相互转换呢？

下面给出证明：


那这样的矩阵太多了，如果非要找出一个矩阵来表示这个矩阵类，那么就是成为规范类，也是使用这种行列（0,1）矩阵来定义：