关于递归算法的一点思考

我们都知道在计算机领域中好的算法代表了：
0.省时间
1.省空间（RAM，而非Disk）

递归分为两种：线性递归 和 尾递归。（两者定义就不在此列出了，读者可自己google一下）
递归调用的本质是在其内部执行的过程中递归地使用调用自身的返回结果作为必要不充分条件或充要条件条件来返回最终结果的过程。在调用过程中声明的变量数量会随着调用次数呈线性增长，当调用次数非常多时，会大量地占用内存空间，因此涉及到递归时首要考虑的是避免空间资源的过度消耗。当递归调用过程中的得到的结果为必要不充分条件时为线性递归，为充要条件时即为尾递归。
在现实中，部分语言的编译器带有优化功能，会将尾递归的结果立即返回，从而避免了线性递归造成的大量占用内存的情况，这也是尽量要用尾递归而非线性递归的原因。

那么重点来了：我们不应该寄托于编译器的优化功能（况且并不是每种语言的编译器都支持优化）来优化我们的算法，我们需要自己来实现。

下面就以实现欧几里得算法求两个正整数的最大公因数为例来讨论一下。

先给出最大公因数的定义：
给定两个正整数m和n，最大公因数，即同时整除m和n的最大正整数。

下面是欧几里得算法（辗转相除法）的数学描述：
两个正整数的最大公因数等于较小的那个数和这两个数相除的余数的最大公因数。

注意：这个定义实际上是包含了递归的，为避免歧义给它做个断句：
两个正整数的最大公因数等于(较小的那个数和这两个数相除的余数)的最大公因数。

下面是将数学描述转换为计算机算法描述：
步骤一：[求余数] 用n除m，余数为r。（此时0 ≤ r < n）
步骤二：[判断余数是否为0] 若r = 0，则算法终止。答案为n。
步骤三：[循环] 此时r ≠ 0, 将n的值赋给m，r的值赋给n。返回步骤一。

代码实现：（默认输入的m、n均为正整数，在代码中不再判断，有失严谨，但是代码更清晰一些）

上面的代码是严格按照计算机算法的描述来实现的，接下来我们就尝试优化一下该算法。根据上面提到的递归的弊端是调用的次数越多，内存消耗越严重，因此可从两方面进行优化：1.在每次调用中尽量减少声明新的变量；2.减少调用次数。

1.在每次调用中尽量减少声明新的变量
我们看到步骤一中声明了一个新的变量 r 来保存得到的余数，并且变量m在执行一次取值后在后续运算中并没有再次被用到，因此可以直接用变量m代替r来保存余数，从而避免声明新的变量来节省内存空间，优化后代码如下：

等价于：

2.减少调用次数。

通过下面的方式可将调用次数减半：

看到这里有人会产生疑问：这不就是增加通过手动增加代码量来“延迟”递归么？
没错，你完全可以这么写：

想必大家已经看出来了，这不就是手动循环呢嘛！
事实上我们应通过使用循环的方式来避免使用递归。
最终代码如下：