初等数论之"大衍求一术"

前言：遍观各论坛，对大衍求一术与孙子定理混为一谈者不计其数。数论是好东西，计算常要密密麻麻写几页纸，但这里我只简单谈一谈，欢迎交流。

数论者，论数也，单纯讨论和研究数的学问。

初等数论中，根据整除引出了同余的概念。同余又引出了同余方程、同余方程组极其求解。

正如高等数学里面的微分方程一样，同余方程也是源自于实际生活。

我有一个经验，就是凡事实际生活中存在的知识，就不敢"小看古人"。无论是社会实践技能，比如东周时期的合纵连横阴谋诡计，还是数学知识，比如今天我要讲的同余方程的求解问题。

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一、实际问题，老生常谈。切记我们只是"初等"数论，高等的解析数论等不知道要高到哪了去了。

"今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?"

典型的实际问题，答案是23+105n,n∈N.

古人的解法，我可以改写描述成一个三角形解法。

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其原理是"孙子定理"，外国人称之为"中国剩余定理"。

但更好一般性的方法，应该还数高数被吐槽排名第三的拉格朗日的插值法。

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二、同余方程的"乘率求解"～即"大衍求一术"

在这里，我们先不介绍秦九韶书本里面的计算方法，因为难以理解。我能知道计算的合理性，却至今不知道秦九韶是这么推导出来的算法，古代情境不能重复，时空穿梭暂时无法实现，我没办法问他本人。

我们先聊一聊同余方程的解的存在性和解结构吧，不要睡觉哈，pay attention!

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紧接着我们赶紧两种容易理解的现代倍率求解方法。

1.欧拉先生的不定方程求解法。

2.陈省身说的类似辗转相除的逆向法。

最后提一下"大衍求一术"究竟是何方神圣。

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三、数论与音乐的关系

占坑。