3.2-选择排序-堆排序

参考链接

• 选择排序：堆排序（Heap Sort）
• 白话经典算法系列之七 堆与堆排序

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

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由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

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堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

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堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

    //插入一个新数据时堆的调整代码
    mutating func minHeadFixup(at index: Int) {
        var i = index
        //  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
        var parent = (i - 1) / 2;
        let temp = self[i]
        while parent >= 0 && i != 0 {
            if self[parent] <= temp {
                break
            }
            swap(&self[i], &self[parent])
            i = parent
            parent = (i - 1) / 2
        }
    }

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//删除一个数据时堆的调整代码
    mutating func minHeadFixdown(at index: Int, count: Int) {
        //  从i节点开始调整, 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2 
        let temp = self[index]
        var i = index
        var leftChild = 2 * i + 1
        while leftChild < count {
            let rightChild = leftChild + 1
            //在左右孩子中找最小的
            if rightChild < count && self[rightChild] < self[leftChild] {
                leftChild += 1
            }
            if self[leftChild] >= temp {
                 break
            }
            //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
            self[i] = self[leftChild]
            i = leftChild
            leftChild = 2 * i + 1
        }
        self[i] = temp
    }

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

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很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

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写出堆化数组的代码：

mutating func makeMinHeap() {
        var i = count / 2 - 1
        while i >= 0 {
            minHeadFixdown(at: i, count: count)
            i -= 1
        }
    }

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

mutating func minHeadSort() {
        makeMinHeap()
        var i = count - 1
        while i >= 1 {
            swap(&self[i], &self[0])
            minHeadFixdown(at: 0, count: i)
            i -= 1
        }
        
    }

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。