本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。
$1.二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组：
为消去未知数x2,以及a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得：
类似地，消去x1，得：
当a11a22-a12a21不等于0时，求得方程组（1）的解为：
（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。其中分母a11a22-a12a21是由方程组（1）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表：
表达式a11a12-a12a21称为数表（3）所确定的二阶行列式，并记作：
数aij(i=1,2;j=1,2)称为行列式（4）的元素或元。元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。位于第i行第j列的元素称为行列式（4）的（i,j）元。
上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆。如下图：
把a11到a22的实联线称为主对角线，a12到a21的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式的概念，（2）式中x1,x2的分子也可以写成二阶行列式，即：
若记：
那么（2）式可写成
注意这里的分母D是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），x1的分子D1是常数项b1，b2替换D中x1的系数a11，a21所得的二阶行列式，x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中x2的系数a12，a22所得的二阶行列式。
例1
求解二元线性方程组
解：
因此：
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表：
记：
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式。
上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循下图所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号。
例2
计算三阶行列式：
解：
按对角线法则，有
例3
求解方程：
解
方程左端的三阶行列式
由.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面先介绍有关全排列的知识，然后引出n阶行列式的概念。
$2.全排列及其逆序数
先看一个例子
引例 用1,2,3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从1,2,3三个数字中任选一个，所有有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有一种放法。因此，共有321=6种放法。
这6个不同的三位数是：
123，231,312,132,213,321
在数学中，把考察的对象，例如上例中的数字1,2,3叫做元素。上述问题就是：
把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）
n个不同元素的所有排列的种数，通常用表示。由引例的结果可知
为了得出计算的公式，可以仿照引例进行讨论：
从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；
又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；
这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法。于是：
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
下面来讨论计算排列的逆序数的方法：
不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设
为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，就说这个元素的逆序数是。全体元素的逆序数之总和：
即是这个排列的逆序数。
例4
求排列32514的逆序数
解 ：
在排列32514中：
3排在首位，逆序数为0；
2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1；
5是最大数，逆序数为0；
1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数为3；
4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为
$3. n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构，三阶行列式定义为：
容易看出：
一、（6）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。因此，（6）式右端的任一项除正负号可以写成。这里的第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成p1p2p3，它是1,2,3三个数的某个排列，这样的排列共有6种，对应（6）式右端共含6项。
二、各项的正负号与列标的排列对照：
带正号的三项列标排列是123,231,312；
带负号的三项列标排列是132,213,321。
经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为，其中t为列标排列的逆序数。
总之，三阶行列式可以写成
其中t为排列p1，p2，p3的逆序数，表示对1,2,3三个数的的所有排列p1p2p3取和。
因此，可以把行列式推广到一般情形。
定义
设有个数，排成n行n列的数表：
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如
(7)
的项，其中p1p2...pn为自然数1,2，。。。n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因为形如（7）式的项共有n！项。所有这n!项的代数和：
称为n阶行列式，记作
简记作，其中为行列式D的（i，j）元。
按此定义的二阶、三阶行列式，与$1式中用对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的。当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值记号相混淆。
例5
证明n阶行列式
其中未写出的元素都是0.
证
第一式左端称为对角行列式，其结果是显然的，下面只证第二式。
在第二式左端中，为行列式的(i,n-i+1)元，故记则依行列式定义
。 证毕
主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做 上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样。
例6
证明下三角行列式
证
在所有排列p1p2...pn中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12...n,所以D中可能不为0的项只有一项
此项的符号
$4.对换
为了研究n阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
证 先证相邻对换的情形。
再证一般对换的情形。
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立。
利用定理1，下面来讨论行列式定义的另一种表示法：
对于行列式的任一项
其中
于是
这就表明，对换乘积中两个元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性。经一次对换是如此，经很多词对换当然还是如此。于是，经过若干次对换。使：
列标排列(逆序数为t)变为自然排列（逆序数为0）；
行标排列则相应的从自然排列变成为某个新的排列，设此新排列为其逆序数为s，则有
又，若
由此可得
定理2 n阶行列式也可定义为
证 行列式定义有
记
于是D与D1中的项可以一一对应并相等，从而D=D1
$5.行列式的性质
记
行列式称为行列式D的转置行列式
性质1 行列式与它的转置行列式相等
证
即
而由定理2，有
证毕
由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的队列也同样成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
证 设行列式
是由行列式
其中1...i...j...n为自然排列，t为排列p1...pi...pj...pn的逆序数。设排列p1...pj...pi...pu的逆序数为t1,则故
以ri表示行列式的第i行，以ci表示第i列。交换i,j两行记作ri<-->rj，交换i,j两列记作ci<-->cj。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
证 把这两行交换，有D=-D,故D=0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
第i行（或列）乘以k，记作rik(或cik)。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
第i行（或列）提出公因子k，记作ri/k(或ci/k).
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
则D等于下列两个行列式之和：
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如以数k乘第j列加到第i列上（记作ci+kcj）,有
（以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj）
以上诸性质请读者证明之
上述性质5表明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（或列）可分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成个行列式。例如二阶行列式
性质2,3,6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即
利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算可以把行列式中许多元素化为0.计算行列式常用的一种方法就是利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值，请看下例：
上面解法中，先用了运算从而利用运算写在一起，这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了。
例8
计算
解
这个行列式的特点是各列4个数之和都是6。把第2,3,4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行：
上述诸例中都用到把几个运算写在一起的省略写法，这里要注意各个运算的次序一般不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故。例如：
可见两次运算当次序不同时所得结果不同，忽视后一次运算是作用在前一次运算的结果上，就会出错，例如：
这样的运算是错误的，出错的原因在于第二次运算找错了对象。
此外还要注意运算(这里不能套用加法的交换律)
上述诸例都是利用运算把行列式化作上三角形行列式，用归纳法不难证明（这里不证）任何n阶行列式总能利用运算化为上三角行列式，或化为下三角行列式（这时要先把）。类似地，利用列运算,也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式。
例10
设
证明
证 对D1作运算
对D2作运算把D2化为下三角行列式，设为
于是，对D的前k行作运算再对后n列作运算把D化为下三角形行列式
例11
计算2n阶行列式
$ 6.行列式按行（列）展开
一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题。为此，先引进余子式和代数余子式的概念。
在n阶行列式中，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij;记：
Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式。
例如四阶行列式
中（3,2）元a32的余子式和代数余子式分别为
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即
证 先证（i,j）=（1,1）的情形，此时
这是例10中当k=1时的特殊情形，按例10的结论，即有
.
再证一般情形，此时
为了利用前面的结果，把D的行列作如下调换：把D的第i行依次与第i-1行、第i-2
行、。。。、第1行对调，这样数aij就调成（1，j）元，调换的次数为i-1.再把第
j列依次与第j-1列、第j-2列。。。、第1列对调，这样数aij就调成（1,1）元，掉
换的次数为j-1。总之，经i+j-2次调换，把数aij调成（1,1）元，所得的行列式D1=
从而D1中（1,1）元的余子式就是D中(i,j)元的余子式Mij.
由于D1的（1,1）元为aij，第1行其余元素都为0，利用前面的结果，有
于是
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
或
证
根据引理，即得
.
类似地，若按列证明，可得
.
这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。
下面用此法则来计算例7的
例12
证明范德蒙德（Vandermonde）行列式
其中记号“”表示全体同类因子的乘积。
证 用数学归纳法。因为
所以当n=2时（8）式成立。现在假设（8）式对于n-1阶范德蒙行列式成立，要证（8）式对n阶范德蒙行列式也成立。
为此，设法把Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的倍，有
按第1列展开，并把每列的公因子（x2-x1）提出，就有
上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有（xi-xj）因子的乘积，其中故
例11和例12都是计算n阶行列式。计算n阶行列式，常要使用数学归纳法，不过在比较简单的情形（如例11），可省略归纳法的叙述格式，但归纳法的主要步骤是不可能省略的。这主要步骤是：导出递推公式（例11中导出）及检验n=1时结论成立（例11中最后用到）.
由定理3，还可得下述重要推论。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
证 把行列式按第j行展开，有
在上式中把
当等于零，即得：
上述证法如按列进行，即可得
综合定理3及其推论，有关代数余子式的重要性质：
仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij)按第i行展开的展开式
中，用b1,b2,...,bn依次代替ai1,ai2,...ain,可得：
其实，把（9）式左端行列式按第i行展开，注意到它的（i,j）元的代数余子式
类似地，用
例 13
设
解
按（9）式可知
按（10）式可知
$7.克拉默法则
含有n个未知数x1,x2,...,xn的n个线性方程的方程组
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有
克拉默法则 如果线性方程组（11）的系数行列式不等于零，即
那么，方程组（11）有唯一解
其中Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的的n阶行列式，即
这个法则的正面在下一章给出，注意这里的Dj有展开式（10）
例14
解线性方程组
例15
解 把四个点的坐标代入曲线方程，得到线性方程组
其系数行列式
是一个范德蒙德行列式，按例12的结果（例12中范德蒙德行列式取的形式），可得
D=1 23 12*1=12,
撇开求解公式（12），克拉默法则可叙述为下面的定理：
定理4 如果线性方程组（11）的系数行列式D,则（11）一定有解，且解是惟一的。
定理4的逆否定理为：
定理4' 如果线性方程组（11）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
线性方程组（11）右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时，线性方程组（11）叫做非齐次线性方程组，当b1,b2,...,bn全为零时，线性方程组（11）叫做齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组
x1=x2=...=xn=0一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（13）的零解。
如果一组不全为零的数是（13）的解，则它叫做齐次线性方程组（13）的非零解。齐次线性方程组（13）一定有零解，但不一定有非零解。
把定理4应用于齐次线性方程组（13），可得
定理5 如果齐次线性方程组（13）的系数行列式,则齐次线性方程组（13）没有非零解。
定理5’ 如果齐次线性方程组（13）有非零解，则它的系数行列式必为零。
定理5（或定理5‘）说明系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件。在第三章中还将证明这个条件也是充分的。
例16
问取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
解
由定理5'可知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0.而
由D=0，得。
不难验证，当