河内塔(THE TOWER OF HANOI)描述的递归原理

1.河内塔的来源

河内塔是有国数学家爱德华·卢卡斯于1883发明的．给定一个由8个圆盘组成的塔，这些圆盘按照大小递减的方式套在三根桩柱中的一根上．

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2.如何解释

我们先以最少的大小两个圆盘来说

• step1 将最小圆盘的移动到中间桩柱
• step 2 将最大圆盘的放到目标桩柱（B）
• step 3 将最小圆盘移动至目标桩柱（B）
  两个盘移动的步骤为3步。我们暂且用T表示最终的结果，这样就有：
  T₂=3
  移动3个圆盘的试验表明，获胜的思路是将上面两个圆盘移动到中间的桩柱上，然后移动第三个圆盘，
  接着再把其余两个放到它上面．这就为移动n个圆盘提供了一条线索：首先把n -1个小的圆
  盘移动到一个不同的桩柱上（需要 T_n-1) 次移动），然后移动最大的圆盘（需要一次移动），最
  后再把那n-1个小的圆盘移回到最大圆盘的上面（这需要另外的 T_n-1 次移动）．这样，至多
  需要2T_n-1+1次移动就能移动n（n > 0）个圆盘了：

T_n=2T_n-1+1

3.公式演算

T₀=0
T_n=2T_n-1+1

正常的递归公式已经完成。我们可以进一步进行公式演算(数学归纳法)
T₀+1=1
T_n+1=2T_n-1+2
如果令U_n=T_n+1,那么就有
U_n=2U_n-1 =>U_n=2ⁿ
如是推导出

T_n=2ⁿ-1