高等代数理论基础79：若尔当标准形的几何理论(2)

若尔当标准形的几何理论(2)

定义：设是上n维空间上的一个线性变换,是一个-不变子空间,若有,使,则称为的一个-循环子空间

注：定义对任一数域P有效

引理：,

,的最小多项式为,则

证明：

设,

有,使

作带余除法

则

是的线性组合

若有

即

由是的最小多项式,且为次

故

即线性无关,故为的基

故

引理：

若由,使得

1.

2.设每个对的最小多项式为,且

则为直和

证明：

故

为直和

定理：一定是一些-循环子空间的直和

证明：

取为的一组基,设

或

对,有可逆的,使得

是对角形

且的首项系数为1

故

其中

故,是的零化多项式,

设是的最小多项式,则

且有

又

其中

故

易知

故

上式成立,

当所有等号成立即证

故

注：

1.可得

即是的最小多项式

已证

又

可得

又都为首一多项式

故

故是的最小多项式

2.若某,则

即

从中去掉

将剩下的重新编号,仍记作

则

且各的最小多项式次数

引理：设,的最小多项式为,互不相同,则有,使,且对于的最小多项式是

证明：

令

作

易知的最小多项式为

又互素

有使得

则

又

故

故

定理：,则有,使,且对的最小多项式为

证明：

有,使

可将每个继续分解,直到满足要求

故最后有,使有分解式

且对的最小多项式为

定理：,则中有基,使在该组基下的矩阵为若尔当标准形,且除去各若尔当块的排列顺序外,若尔当标准形由唯一确定