群的结构

子群的生成

定义：设G是一个群，X是G的一个子集，设是G的包含X的所有子群，则构成G的一个子群，叫做G的由X生成的子群，记为。

证明.

由于是各自为一个群，则

是G的一个子群

Notation： X的元素称为子群的生成元，如果X={}，则可以将记为<>。如果G=<>，则称G是有限生成的，特别的，如果G=，则称G为a生成的循环群。

下面给出生成子群中元素的显示表示：
设G是一个群，X=<>是G的一个子集则，
={}，其中每个元素之间的运算都是群G上的运算。

元素的阶：设G是一个群，aG，则子群的阶称为元素a的阶，记为ord。

事实上，元素a的阶，ord，就是满足的最小正整数 n。

证明：满足ord(a) > 2的元素 a 的个数一定是偶数。
当时，，则 ord(a) = 2
所以满足 ord(a)>2 的元素a，都满足
设ord(a) = n

假设使得，
则：
而这与ord(a)=n的前提相违背
所以
综上所述，一个群中的元素的阶如果大于2，那么这个元素与它的逆元一定是不相同的，并且与逆元的阶是相等的。
所以满足ord(a) > 2的元素都是成对存在的。

循环群

在讨论群的结构时，循环群是最为简单的一种群的结构。
由上面对循环群的描述，循环群可以用集合的形式表示为：={}
也就是说循环群中的每一个元素都可以写成a的n次幂的形式，其中aG，n是一个整数。

定理：由整数上的加法构成的群Z，它的每一个子群H都是循环群，并且有H=<0>或H==mZ={km|kZ}，其中m是H中的最小正整数。并且如果H<0>，则H是无限的。

证明.

当H=<0>={0}时，由于0是整数加法群的单位元，所以H是Z的一个子群。
当H<0>时，设，所以H中存在正整数的，设H中的最小的正整数为m，不妨假设a>0，则rZ，使得 a = qm + r，其中qZ，0r 如果r0，则r= a - qm =a + q(-m)H（群的运算封闭性），这与m是H中最小的正整数的前提违背，所以r=0。而，所以H是循环群。

群的进一步性质：设G是一个群，aG，则
1.当是无限群时，有：
i)，当且仅当k=0
ii)元素两两不等

证明.
考虑加群Z到群G的映射，不难证明 f 是同态。
则由同态分解定理可得：
而由前面的定理可知，ker(f)作为Z的子群要么是<0>要么是=mZ。
是无限的
ker(f)=<0>，并且与Z/ker(f)是一对一的关系

2.当是有限群时，设ord(a)=m，此时有：
i)m是使得的最小正整数
ii)，当且仅当 m | k
iii)，当且仅当rk(mod m)
iv)元素两两不等
v)={}
vi)对任意整数1dm，有

证明.
同样的，构造映射，则
而这里是有限的，并且ord(a)=m
所以m是使得的最小正整数
而等价于，等价于k | m，相似的，等价于>，等价于rk(mod m)
因为Z/ker(f)与是一一对应的，所以两两不等
最后一个性质：
对于群，等价于，等价于m|dk，等价于，显然与，所以由此可以得到
因此

循环群的性质：设G是一个循环群.
i)如果G是无限的，则G的生成元为或.
ii)如果G是有限阶m，则是G的生成元当且仅当(k,m)=1.

定理：每个无限循环群同构于加群Z，每个阶为m的有限群同构于加群Z/mZ.
这个定理同样可以通过前面构造从整数加群到循环群G的同构映射而得到证明。

置换群

定义：设S={1,2,...,n}，称S到其自身的映射σ是一个置换，如果σ是双射，即
()
通常将 n 元置换σ写成

置换的乘法：设和是S上的两个置换，则它们的乘积也是S上的一个置换，且
如果把置换看作S到自身的函数，则置换乘法就是函数复合运算。

例：令和是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的置换，则
即先做的置换，再做的置换

置换的逆变换：设，则其逆变换为

置换群：n元置换全体组成的集合关于置换乘法构成一个群，其阶为.

轮换：设σ是一个n元置换，如果存在I={}{1,2,...,n}，使得，其中j=1,2,..,k-1，并且对任意{1,2,...,n}\I，都有，那么称σ是一个k-轮换，记作()。

定理：任意置换都可以表示成为不相交的轮换的乘积，且在不考虑乘法顺序的情况下，该表示是唯一的。

例：令是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的一个置换，则σ可以表示为两个轮换的乘积，即

轮换的乘积例题
求：(1, 3)(1, 2)
解：设
(1, 3)(1, 2) =



所以(1, 3)(1, 2) = = (1, 2, 3)