给定一个整数序列,找到一个具有最大和的连续子序列(子序列最少包含一个元素),返回其最大和。
实例输入: -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4
实例输出: 6(连续子序列4, -1, 2, 1的和最大,为 6。)
下面介绍动态规划的做法,复杂度为 O(n)。
步骤 1:令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和(这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾)。
步骤 2:做如下考虑:因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列,那么只有两种情况:
- 这个最大和的连续序列只有一个元素,即以 A[i] 开始,以 A[i] 结尾。
- 这个最大和的连续序列有多个元素,即从前面某处 A[p] 开始 (p
对第一种情况,最大和就是 A[i] 本身。
对第二种情况,最大和是 dp[i-1]+A[i]。
于是得到状态转移方程:dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}
这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关,且边界为 dp[0] = A[0],由此从小到大枚举 i,即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0],dp[1],...,dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。
#include#include int max(int a, int b){return a>b?a:b;} int main() { int n; int a[50500], dp[50500]; scanf("%d", &n);//输入序列长度 for(int i=0; i "%d", &a[i]); dp[0] = a[0]; for(int i=1; i 1] + a[i]); int ans = dp[0]; for(int i=1; i i) { if(dp[i] > ans) ans = dp[i]; } printf("%d\n", ans); return 0; }
变式:两段最大连续子序列--POJ1481
思路:这道题目的基础就是最大连续子序列和,但是更加强化了。核心思路是从前往后和从后往前分别得到dp,再分别用另一个数组存储到某位置最大值,然后再找最大值。具体看代码。
#include#include using namespace std; const int N = 50500; int a[N],s1[N],s2[N],dp1[N],dp2[N];//s1,s2分别记录到第i个位置的最大序列和(并不要求以i结尾) int ans, n; void f() { s1[0]=a[0], dp1[0]=a[0], s2[n-1]=a[n-1], dp2[n-1]=a[n-1]; for(int i=1;i ) { dp1[i]=max(dp1[i-1]+a[i],a[i]); s1[i]=max(s1[i-1],dp1[i]); } for(int i=n-2;i>=0;i--) { dp2[i]=max(dp2[i+1]+a[i],a[i]); s2[i]=max(s2[i+1],dp2[i]); } for(int i=1;i 1]+s2[i]); } int main() { int T; cin>>T; while(T--) { cin>>n; for(int i=0;i >a[i]; ans = -99999;//因为如果都是负元素就选两个最小的负元素 ,不会小于-20000 f(); cout< endl; } return 0; }