写给大家看的“透视除法” —— 齐次坐标和投影

3D投影

图片来源： Joachim Baecker.

术语

在大多数3D工作中，我们参照的依据是欧几里得几何学中的三维空间（X, Y, Z）。但在某些情况下，参照投影几何更适用，除了 X, Y, Z 分量外，增加一个 W 分量，这个四维空间叫做“投影空间”，在四维空间中的坐标叫“齐次坐标”。
为了达到3D软件的目的，“投影的” 和 “齐次的” 可以理解为 "4D"。

不是四元数

虽然四元数跟齐次坐标长得很像，都是 4D 矢量，通常用(X, Y, Z, W)来表示。但是，四元数和齐次坐标是不同的概念，适用的领域也不同。
这篇文章跟“四元数”没有一毛钱关系。

类比2D

了解3D之前，我们先看看2D的投影是怎么回事儿。
想象投影仪在一个屏幕上投影一张2D图片，很容易就可以得到投影图片的 X, Y 分量。

在屏幕上投影2D图片

现在，看投影仪和屏幕之间，你就可以发现 W 分量了。
W 分量是投影仪到屏幕的距离

W分量

那么 W 分量的作用是什么呢？想象一下，如果我们移动投影仪的位置，来增加或减少 W分量的值，那么投影出的2D图片会发生什么？如果将投影仪靠近屏幕，2D图片缩小，如果投影仪远离屏幕，2D图片放大。没错，这就是 W 分量的作用。

W 分量的值，影响了投影出 2D 图片的大小

投影仪靠近屏幕

应用到3D

到目前为止，还没有一个3D投影仪，很难想象3D中的投影几何，但是 3D 下的 W 分量与 2D 的作用相同。当 W 增大，坐标被拉伸；W 缩小，坐标被压缩， W 对3D坐标做缩放变换。

W = 1时

通常，给3D编程初学者的建议是，无论什么时候将 3D 坐标转换为 4D 坐标时，让 W=1。原因是，当缩放坐标的 W 为1时，坐标不会增大或缩小，保持原有的大小。所以，当 W=1，不会影响到 X, Y, Z 分量的值。
因此，当谈论到 3D 计算机图形学时，当坐标中 W=1时被称作“正确”。如果渲染使用 W>1 的坐标，每一个3D物体看起来都会变大，反之，W<1 的坐标中，3D物体会变小；如果渲染时试图让 W=0，那么你的程序会奔溃，当做透视除法的时候除数为0；如果 W<０，每一个物体都会上下翻转，水平翻转。
在数学中，没有所谓的“不正确”的齐次坐标，使用齐次坐标时让 W=1 仅仅是用于计算机图形学中的投影转换。

数学原理

现在，让我们来看一些例子，了解数学原理
在距屏幕3米远的位置放一个投影仪，投影出一个点(15, 21)在 2D 图像中，相应的投影坐标中的向量为 (X, Y, W)=(15, 21, 3)。

距屏幕3米远投影一个点

现在，想象推动投影仪向屏幕靠近，直到距离1米，越靠近屏幕投影，投影出的图像越小。投影仪靠近了3倍，因此图像缩小了3倍。如果我们将原向量的 X, Y, W 分量都除以 3，我们得到一个新向量 W=1：

W=1的新向量

投影出的点在坐标中的新位置(5, 7)

同一个点在距屏幕1米远处投影

这就是怎样将一个“不正确”齐次坐标转换到一个“正确”坐标的方法：所有分量除以 W，这个过程对 2D 和 3D 同样适用。
通过给向量乘以 W 的倒数，来实现向量的所有分量除以 W，下面是一个4D的例子：

透视除法

用 GLM 库编写，类似如下实现：

glm::vec4 coordinate(10, 20, 30, 5);
glm::vec4 correctCoordinate = (1.0/coordinate.w) * coordinate;
//now, correctCoordinate == (2,4,6,1) 

在计算机图形学中使用齐次坐标

就像开始提到的，针对3D 计算机图形学中，有些情况下使用齐次坐标很有用，下面我们来看看这些情况：

3D 坐标中的转换矩阵

旋转和缩放的转换矩阵只需要3列，但是为了处理平移，至少需要4列矩阵，这就是为什么矩阵变换通常用4×4的矩阵。然而，4列矩阵不能与3维向量相乘，只能与4维向量相乘，这就是为什么我们使用齐次的4维向量取代3维向量。

4列矩阵只能与4维向量相乘，这就是为什么我们常常使用齐次的4维向量取代3维向量。

通过齐次坐标处理矩阵变化，第4维 W 分量通常不用改变。从3D转换到4D，只需将 W 分量设置为1，并且经过变换矩阵处理后，W 分量的值任为1，这意味着我们忽略 W 分量即可转换回 3D坐标。这个对目前为止大多数的矩阵变化都适用，如平移、旋转、缩放。需要注意的例外是投影矩阵会影响 W 分量。

透视变换

在 3D 世界，物体离相机越远看起来越小，这个现象叫做透视。在镜头中，如果猫离相机足够近，远处的大山会比猫看上去小。

透视，远处的大山比镜头前的猫看上去小

在3D计算机图形学中，透视是通过变换矩阵改变向量的 W 分量来实现的。在变换到相机空间后（对向量应用了相机矩阵），还没有进行投影变换（还没有对向量应用投影矩阵），每个向量的 Z 分量表示了距离相机的距离。因此，Z 分量越大，矢量应该越小。W 分量影响这个缩放，所以投影矩阵用 Z 分量的值改变 W 分量的值。

在3D计算机图形学中，透视是通过投影矩阵变换，改变每一个向量中 W 分量的值来实现透视的

下面看一个透视例子，通过投影矩阵变换到齐次坐标。

投影矩阵变化到齐次坐标

注意投影矩阵是怎样用 Z 分量改变 W 分量的。
经过投影矩阵透视变换后，每一个向量即经过了“透视除法”。

透视除法只是将齐次坐标中的 W 分量转换为1的专用名词

继续上面的例子，透视除法这步如下：

透视除法

完成透视除法后，W分量就没用了，我们就得到了一个完全符合3D透视投影规则的3D坐标。
在GLM中，透视投影矩阵可以通过使用 glm::perspective或 glm::frustum方法来创建。在老式的 OpenGL 中，通常使用gluPerspective 或 gluFrustum 方法。在 OpenGL 中，在顶点 shader 作用了每一个顶点后，自动进行透视除法。这就是顶点 shader 中 main 方法输出的 gl_position 变量，是4维向量，而不是3维向量。

设置平行光

齐次坐标中的一个属性，是允许有一个无限远的点（或无限长的向量），在3D坐标中这个是不允许的。当 W=0 时，这点表示无限远的一个点。如果你尝试将一个 W=0 的齐次坐标转换为一个普通的 W=1的齐次坐标，这会导致4次除0操作：

试图将 W=0 的齐次坐标转换为普通的 W=1 的齐次坐标

这意味着，不能将 W=0 的齐次坐标转换到 3D 坐标。
那这有什么用呢？用处说来就来了，平行光可以认为是一个无限远处的点光源。当一个点光源在无限远的位置，光线就会变成平行的，并且所有光线都在同一方向，这就是平行光的基本定义。想想太阳吧。
所以在传统的3D图形中，平行光可以通过改变点光源位置向量中的 W 分量来表示，当 W= 1时，是一个点光源；当 W= 0 时，是一个平行光。
在实现光照代码时，这更多的是一种传统的约定，但不是一种有用的方法。因为平行光和点光源的行为不同，通常分开实现。一个经典的光照 shader 实现如下：

if (lightPosition.w == 0.0) {    
  //directional light code here
} else {
  //point light code here
}

总结

齐次坐标有一个额外的维度叫 W 分量，用来缩放X, Y, Z三个分量的值。平移和透视投影的矩阵变换只能在齐次坐标中使用，所以在3D计算机图形学中，当 W=1时，X, Y, Z 分量被称为“正确的”。任何齐次坐标，只要 W 不为0，都可以通过将每一个分量除以 W 来转换到 W=1的向量。当 W=0 时，这个坐标表示无穷远的一个点（或者表示无限长的一个向量），通常用于表示平行光的方向。

原文：Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry

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