图论与Laplacian 矩阵

一些矩阵分类

$Z$-矩阵: 非对角元素为非正实数的矩阵.
$M$-矩阵: 所有特征值的实部为非负实数的$Z$-矩阵.

图(graph)

给定一个节点集 合$V$ 和 这些节点形成的边集合 $E$, 就构成了一个图 $G := (V, E)$.

如果 $E$ 中的边没有方向, 就称 $G$ 为无向图(undirected graph)；如果 有方向, 则称 $G$ 为有向图(directed graph).

如果 $E$ 中的每条边有一个权重值, 则称 $G$ 为带权图(weighted graph); 如果没有, 则称 $G$ 为无权图(unweighted graph).

如果 $G$ 中任一个节点 $v_i$ 都没有指向自身的边, 或者多于1条指向另外一个节点$v_j$的边, 则称 $G$ 为简单图(simple graph) , 否则称为非简单图(nonsimple graph).

简单图与非简单图

图 $G$ 中如果任意两个节点都存在一条路径, 则称 $G$ 为连通图(Connected Graph).
图 $G$ 的连通分量(Connected Component)是$G$的一个最大连通子图.

正则图(Regular Graph)中每个节点的度是一样的.

Laplacian 矩阵#

给定一个无向, 无权的简单图 $G =(V,E)$, $n = |V|$ 表示节点个数, Laplacian 矩阵 $L$ 一个定义如下 $n\times n$矩阵

$$ L = D - A$$

其中 $D$ 是 $G$ 的度矩阵(degree matrix), 它为对角矩阵, 且$D_{i,i}$为节点 $v_i$的度; $A$ 为 $G$ 的邻接矩阵(adjacency matrix), 如果节点 $v_i$ 和 $v_j$ 之间存在一条边 $\in E$, 则 $A_{i,j} = A_{j,i} = 1$, 否则 $A_{i,j}= A_{j,i} = 0$, 可见 $A$ 是一个对称矩阵.

Laplacian 矩阵的性质

给定一个无向图 $G$, 设它的 Laplacian 矩阵 $L$ 的特征值为 $\lambda_0 \leq \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1} $:

• $L$ 是一个对称矩阵.
• $L$ 是半正定的, 由对称和对角占优可以证明.
• $L$ 是一个 $M$ 矩阵.
• $L$ 的行和\列和都为0, 所以0是$L$的特征值, 对应特征向量 为 $n$ 维向量 $ ( 1, 1, 1, \ldots, 1) $.
• $L$ 的特征值中 0 出现的次数为连通子图的个数.
• $L$ 最小的非零的特征值称为 $L$ 的谱隙(spectral gap).
• $L$ 第二最小的特征值称为 $G$ 的代数连通度(algebra connectivity).