从另一种角度理解量子力学

本文来自麻省理工ECE教授Scott Aaronson的教学讲义。和我们大多数人学的物理课不同，这门课是量子计算，从另外一个角度来理解量子力学。当时读到这篇文章觉得很有意思，便打算翻译过来和大家一起分享。由于本人学识浅薄，翻译中若有错误欢迎大家指正。另外这是课堂讲义，口语化的文字很难翻译，一些我觉得不重要的内容就略去不翻或者意译了。

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量子力学的教学，有两种方法。第一种方法是如今大多数物理学家采用的，以历史发展的顺序，先从经典力学讲到电动力学，解一大堆微分方程，然后告诉你黑体辐射悖论和那些奇奇怪怪的实验结果，这些导致了物理学的危机。然后你会学习那些物理学家在1900和1926年之间提出来的各种复杂想法来解救这个危机。幸运的话，经过多年的学习你最终接触到这个中心概念：世界不是由概率（probabilities）描述的，而是由一些叫做振幅（amplitudes）的数字描述的。概率是非负的，而振幅可正可负，甚至可以是复数。

如今是量子信息时代，所有物理学家都用这种方法来学习量子力学的话就有点可笑。那些受过高等教育的人只不过记住了这些话：“光具有波粒二象性”，“薛定谔的猫不知是死是活除非你打开箱子瞧一瞧”，“你可以知道位置（position）或动量（momentum），但是不能两个都知道”，“一个粒子知道另一个粒子的自旋即使距离很远” 等等。但是我们根本不能理解这些，除非我们痛苦地学习好多年。

第二种教学方法抛弃了量子力学的历史发展过程，直接跳到其核心概念，也就是一个允许负号的概率理论。一旦你理解了这个理论，你就能品尝物理，就能计算任意原子的谱带。这个第二种方法就是我所采用的。

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那么什么是量子力学？尽管是由物理学家发现的，量子力学和电磁学及广义相对论相比，并不是同一类的物理学。从科学的继承性来看，生物学来自化学，化学来自物理，物理来自数学，而量子力学位于物理和数学之间。量子力学就像是个操作系统，而其他物理理论就像是计算机应用程序（除了广义相对论没能兼容这个系统）。甚至可以用一个词来形容把一个物理理论安装到这个操作系统上：“量子化”。

如果量子力学不是关于一般的物理概念（物质，能量，波，粒子），那么它是关于什么的？在我看来，量子力学是关于信息，概率，观察 以及它们之间的联系的理论。

我的观点是，如果你研究概率论，那么最后肯定会触及量子力学。所以我们不如把概率这个概念扩大化，让概率也可以取负数。如果早这么做的话，19世纪的数学家就可以发明量子力学了，根本就不需要实验。

Scott: 在我看来，这说明了实验的重要性。很多时候我们做实验是因为我们不够聪明，必须通过分析实验结果来提出理论。
在这节课上，我将不做任何实验，来向你展示为什么当你希望这个宇宙有普遍的属性时，你必须从这三个中选：（1）确定性，（2）经典概率论，（3）量子力学。

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小于0％的机率

什么是拥有负数概念的“概率论”？ 我们从来没有听说过天气预报说明天有-20％的可能性下雨，这是有悖常理的。先不管这些，让我们抽象地想想一个事件，拥有N个可能的结果。我们可以将这个事件用一个向量来表示。这个向量由N个实数构成：

(P1,...., Pn)

数学上我们会如何描述这个向量？ 我们会说，这些概率应该是非负的，而且它们加起来等于1。后一条我们可以这样表示：概率向量的 1-norm 必须是1。（1-norm 指的是每个元的绝对值加和。）

但是 1-norm 并不是这个世界上唯一的 norm ，它并不是定义向量“大小”的唯一方式。还有另外的方式来定义，比如说 2-norm， 又叫 Euclidean norm (欧几里德范数）。欧几里德范数指的是向量元平方和的开平方值。

如何概率论是基于 2-norm 而不是 1-norm，那么量子力学就是其结果。

让我们来考虑一个比特。在概率论里，我们描述一个比特是 0 的可能性是 p，那么是 1 的可能性就是 1-p 。如果我们把 1-norm 变为 2-norm， 那么就不需要要求这两个数字加起来是1，而是要求它们的平方和是1。（假设这里讨论的数字还是实数。）换句话说，我们需要的是这样一个向量 (α,β)， 满足 α^2 + β^2 = 1 （有谁知道markdown如何插入公式？）。 这样的向量组会形成一个圆：

我们的理论必须的和观察有关, 假设有一个比特可以用这个向量(α,β)来描述，那么我们得说明当我们去 看这个比特的时候会发生什么。既然它是一个比特，我们应该看到0或者1！而且看到0的几率和看到1的几率加起来应该是1。那么对于这个(α,β)向量，我们该如何得到两个加起来等于1的数字？很简单，我们可以让 α^2 作为结果是0的概率，让 β^2 作为结果是1的概率。

那么在这个情况下，我们可以不抛弃 α 和 β，直接用概率来描述这个比特？啊....关键的差别在于当我们把一个算子作用在向量上面时向量的变化（这个过程称为operation）。在概率论里，如果一个比特用向量(p,1-p)来表示，那么我们可以用一个随机矩阵（stochastic matrix）来表示任何对于向量的操作（operation）。
随机矩阵：一个矩阵由非负实数构成，每一列加起来和为1。
比如说，一个 “翻转比特”操作，把结果为1的概率从p变成了1-p，那么这个操作可以表示为：
（此处应有图）
未完待续 欢迎关注这篇文章，我会随时更新的。

2014年12月14日：
这文章烂尾了，未来某日也许会更新。