数学分析理论基础22：柯西中值定理

柯西中值定理

柯西中值定理

定理：设函数和满足：

1.在上都连续

2.在上都可导

3.和不同时为零

4.

则,使得

证明：

作辅助函数

显然在上满足罗尔定理条件

故，使得

几何意义

将写作以为参量的参量方程

在平面上表示一段曲线

表示连接该曲线两端的弦的斜率

则表示该曲线上与相对应的一点处切线的斜率

表示切线与弦互相平行

例

1.设函数在上连续，在上可导，则，使得

证：

设

显然在上与一起满足柯西中值定理条件

故，使得

整理可得

2.设在区间上可导，，证明：在区间上一致连续

证：

设

当时

则

由柯西中值定理

使得

在上一致连续

在上一致连续

又在上连续，故一致连续

在区间上一致连续