PCA模型加先验

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大清牛人曰：ML派坐落美利坚合众山中，百年来武学奇才辈出，隐然成江湖第一大名门正派，门内有三套入门武功，曰：图模型加圈，神经网加层，优化目标加正则。有童谣为证：熟练ML入门功，不会作文也会诌。今天就介绍一个PCA加先验的工作。

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主成分分析 (PCA)

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PCA是常用的数据降唯模型。PCA处理的数据中心点为零点 (y_1+...,y_n)/n，如果数据中心点不是零点，需要预处理数据y_i = y_i- (y_1+...,y_n)/n使得中心点为零点。PCA降唯的思路：1）找到m个相互正交并且使得投影方差最大的方向（专业一点的说法是找到一组使得方差最大的基），2)将k维的数据投影到这m个方向上，得到m维数据。因为m会小于k，数据的维度下降了。这里最难理解的部分就是“使得投影方差最大”了。

什么是“使得投影方差最大”？数据y在c方向的投影（标投影）为y^{Tc，其中方向为单位向量||c||}2=1。一堆数据y_1,y_2,....,y_n在c方向的投影为一堆数：y_1^Tc,y_2Tc,....,y_n^Tc。“使得投影方差最大”是使得这堆数的方差最大。当然啦，PCA是找到m个方向，因此“使得投影方差最大”应该是使得m堆数的方差之和最大。

为什么要“使得投影方差最大”呢？我们看下图，如果要把图中的数据压缩到一维，我们是选择右上方向还是左上方向呢？我们当然应该选右上方向! 因为右上方向上数据点散得比较开，压缩之后不同的数据点也好区分；而左上方向上数据点比较密集，不同数据压缩之后变相同的概率比较大。在中心点为零点的情况下，“散得开不开”可以用这个方向上的投影方差刻画。方差比较大，“散得比较开”；方差比较少，“挤得密集”。因此我们需要“使得投影方差最大”。同时，这也是为什么PCA需要预处理数据使得中心点为零点。

让Y表示预处理之后的数据，其中每一行代表一条k维度的数据；C表示PCA要找的方向，其中每一列代表一个方向。数据在不同方向的投影方差和等于||YC||_F^{2，也就是等于Tr(C}T Y^T YC)。因此PCA需要求解如下优化问题。

上面的优化问题利用了Y^T Y。中心点为零点的情况下，Y^T Y为不同变量的协方差矩阵。PCA模型也可以基于协方差矩阵来解释，这里就不介绍了，有兴趣的同学可以看参考文献一。求解上面的优化问题蛮简单的，因为Y^T Y前m个特征向量就是答案！！！一旦求得C，立得压缩之后的数据为YC。

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海量多标记分类

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介绍完PCA的基本知识，再来介绍一个PCA加先验的工作。这个工作都应用在海量多标记分类任务上。在多标记分类问题，一个实例同时拥有多个类别（标记）。比如一篇关注全球变暖的新闻报道既属于科学类别，也属于环境类别。有些任务中标记数量特别巨大，我们称之为海量多标记分类。比如多标记分类可以应用于标签推荐任务中，标签数量成千上万。用Y表示已经去中心化之后的标记矩阵，其中每一行代表一个实例的标记情况；用X表示实例，其中每一行代表一个实例的特征。

我们自然会想着把标记向量降维到一个低维向量，然后学习一个从实例到低维向量的模型，最后从低维向量还原出标记来（妈蛋！！什么叫自然！！！09年才有人这么做好吧！！！）。作为最常用的数据降维方法，自然有人将PCA应用在这个问题上。但只用PCA是有缺陷的。PCA只会考虑怎么有效地将标记向量压缩成低维向量，但低维向量是否适合学习就不管了。压缩得到的低维向量和实例特征有可能没有一点相关性，导致很难学习到一个从实例到低维向量的模型。这时候我们就应该往PCA模型加点“容易学习”的先验了。

Chen et al (2012) 假设实例到低维向量的模型是线性模型W，这时“容易学习”的先验知识可以表示为

根据最小二乘法，我们求得W

将这个“容易学习”的先验加入PCA，我们能够得到

求解上面的优化问题就可以将“容易学习”的先验加入PCA，使之适用于海量多标记分类任务。

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参考文献

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http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE586Spring2010/lectures/pcaLectureShort_6pp.pdf

Chen, Yao-Nan, and Hsuan-Tien Lin. "Feature-aware label space dimension reduction for multi-label classification." Advances in Neural Information Processing Systems. 2012.