数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用

从广义上来讲：数据结构就是一组数据的存储结构 ，算法就是操作数据的方法

数据结构是为算法服务的，算法是要作用在特定的数据结构上的。

10个最常用的数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie树

10个最常用的算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法

本文总结了20个最常用的数据结构和算法，不管是应付面试还是工作需要，只要集中精力攻克这20个知识点就足够了。

数据结构和算法（一）：复杂度、数组、链表、栈、队列的传送门

数据结构和算法（二）：递归、排序、通用排序算法的传送门

数据结构和算法（三）：二分查找、跳表、散列表、哈希算法的传送门

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用的传送门

数据结构和算法（五）：图、深度优先搜索和广度优先搜索、字符串匹配算法、Trie树、AC自动机的传送门

数据结构和算法（六）：贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、拓扑排序的传送门

第十六章二叉树

一、什么是树？

1. 树是由结点和边组成的，不存在任何环的一种数据结构。树是一种非线性表结构，比线性表结构要更加复杂。通过下图，我们就可以更直观的认识树。

树的定义.png

1. 在一棵树中，由于节点之间关系、特征不同，所以对不同节点也有不同的称呼，比如下面这颗树，E节点是A节点和F节点的父节点；A是E的子节点；A和F的父节点都是E，所以A和F互为兄弟节点；E没有父节点，所以称E为根节点；G、H、I、J、K、L节点都没有子节点，所以称为叶子节点。

树中的节点的称呼

1. 关于树还有三个概念：高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)，比较容易混淆
- 节点的高度：节点到叶子节点的最长边数
- 节点的深度：根节点到这个节点的边数
- 节点的层数：节点的深度 + 1
- 树的高度：根节点的高度

树的高度、深度、层

小结：这里的高度和深度其实和日常工作生活中的一样的，高度其实就是从叶子到节点的距离，深度就是从根部到节点的距离。

二、什么是二叉树？

1. 顾名思义，二叉树，就是每个节点最多有两个分叉的树，即每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
1. 二叉树也有几个概念：满二叉树、完全二叉树，如下图所示：
- 满二叉树：除了叶子节点外，其他所有节点都有2个子节点
- 完全二叉树：除了最后一层其它层的节点个数达到最大，并且最后一层的的叶子节点都靠左排列

满二叉树和完全二叉树

1. 满二叉树好理解，但是完全二叉树为啥如此定义呢？为什么叫做完全呢？这就得从二叉树的存储说起了。

三、如何存储一颗二叉树？

存储二叉树有两种办法，一种是基于指针的二叉链式存储法，另一种是基于数组的顺序存储法。

1. 链式存储法，也就是像链表一样，每个节点有三个字段，一个存储数据，另外两个分别存放指向左右子节点的指针，如下图：

链式存储二叉树

1. 顺序存储法，就是按照规律把节点存放在数组里，如下图所示，我们把A节点存放在下标为1的位置，B节点存放在下标为2的位置，C节点存放在下标为3的位置，依次类推，得出规律：节点X的下标为i，那么X的左子节点总是存放在2 * i的位置，X的右子节点总是存放在2 * i + 1的位置。（为了方便计算，总把根节点放在下标为1的位置）

顺序存储法

1. 刚刚举的例子是一颗完全二叉树，所以仅仅浪费了下标为0的存储位置，但是，如果是非完全二叉树，就是浪费很多存储空间，如下图所示，所以你就懂了完全二叉树为何叫做完全二叉树了，就是因为这样的二叉树，能比较完全的利用数组存储空间。

非完全二叉树-用顺序存储法

四、如何遍历一颗二叉树？

1. 遍历一棵树，有经典三种方法：前序遍历、中序遍历、后序遍历，这里的序指的是父节点的遍历顺序，前序就是先遍历父节点，中序就是中间遍历父节点，后续就是最后遍历父节点。如下图所示：
- 前序遍历：对树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后打印它的左子树，最后打印它的右子树。
- 中序遍历：对树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印这个节点，最后打印它的右子树。
- 后序遍历：对树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它的右子树，最后打印它本身。

前序、中序、后序

1. 二叉树的前序、中序、后序遍历，其实是一个递归的过程，写递归代码的关键在于，写出递推公示；写递推公式的的关键在于，如果要解决问题A，就假设问题B和C已经解决了，然后在看如何用B和C去解决问题A，最后在解决问题B、C。

前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

1. 二叉树遍历的时间复杂度是多少呢？从前序、中序、后序的遍历图中，我们可以看出，每个节点最多会被访问2次，也就是如果有n个节点，遍历一次最多需要访问2n个节点，所以时间复杂度为O(n)

五、什么是二叉查找树？

1. 二叉查找树，是一种特殊的二叉树，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。
1. 为了支持这些特性，二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树中每个节点的值，都要大于这个节点的值。如下图所示：

二叉查找树

1. 二叉查找树的查找操作，想要查找一个数，先取根节点，如果根节点等于我们要查找的的数据，就返回；如果要查找的比根节点小，就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点大，就在右子树中递归查找。
1. 二叉查找树的插入操作，想要插入一个数，如果要插入的数据比节点的数据大，且节点的右子节点为空，则插入；如果右子节点不为空，那么就递归遍历右子树，寻找合适的插入位置；如果要插入的数据比节点的数据小，也同理。
1. 二叉查找树的删除操作就比较复杂了，分为三种情况：
- 如果要删除的节点没有子节点，只需要将其父节点指向子节点的指针置为null即可。
- 如果要删除的节点只有一个子节点，只需要讲其父节点指向的子节点的指针换成其子节点的指针即可。
- 如果要删除的节点有两个子节点，就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中最小的节点，然后替换要删除的节点。因为这个节点的右子树都是大于此节点的，所以需要找出右子树最小的，代替删除的节点。
1. 二叉查找树除了支持上面几个操作外，还有一个非常重要的特性就是中序遍历二叉查找树，中序遍历就可以输出有序的数据队列，相当于完成了排序操作，时间复杂度为O(n)，非常高效，所以二叉查找树也叫做二叉排序树。
1. 二叉查找树插入、删除、查找的时间复杂度。实际上，二叉查找树的形态各异，不同的形态时间复杂度也完全不一样，比如下图中，同样的数据，这三种二叉查找树的执行效率就不相同。
三种不同形态的二叉查找树
- 第一种的二叉查找树已经退化为了链表，所以查找的时间复杂度变成了O(n)
- 第三种是完全二叉查找树，查找操作类似于二分查找，所以时间复杂度为O(logn)
1. 从上面可以看出，为了保证时间复杂度为O(logn)，我们必须保证二叉查找树是平衡的，而且需要无论如何删除、插入数据，都能保持任意结点的左右子树都比较平衡，这样才能保证插入、删除、查找的时间复杂度稳定为O(logn)，我们把这种可以保持平衡的二叉查找树叫做平衡二叉查找树。

六、二叉查找树与散列表的对比

我们知道，散列表的插入、删除、查找的时间复杂度都是O(1)，非常高效，而二叉查找树只有在比较平衡的情况下，才能做到O(logn)，那么我们为什么要用二叉查找树？

1. 散列表的数据时无序的，想要有序必须先排序，而二叉查找树，只需要中序遍历即可，可以在O(n)内输出有序数据序列。
1. 散列表扩容耗时很多，而且遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能也不稳定，但是我们最常用的平衡二叉查找树性能非常稳定，时间复杂度可以稳定在O(logn)内。
1. 散列表的构造比二叉树要复杂，要考虑散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩荣等，而二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，且解决办法比较成熟。
1. 所以综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是有优势的，实际开发中，要结合具体情况来选择。

第十七章红黑树

一、平衡二叉查找树

1. 上一节，我们讲了，二叉查找树想要做到稳定的O(logn)时间复杂度，就必须尽量保持平衡，所以就引出来平衡二叉查找树，平衡二叉查找树的严格定义是这样的：二叉树中任意节点的左右子树的高度相差不能大于1。从定义来看，完全二叉数和满二叉树都是平衡二叉树，非完全二叉树也可能是平衡二叉树。
1. 最先被发明的平衡二叉查找树是AVL树，它严格符合平衡二叉查找树的定义，任何节点的左右子树的高度相差都不超过1，是一种高度平衡的二叉查找树。AVL是如何保证频繁的插入、删除的过程中保持平衡的呢？请看这幅漫画，生动形象的讲解左旋、右旋。在插入过程中，会出现四种破坏AVL树特性的情况，可以采取以下方法处理：
- 左-左型：做右旋。
- 右-右型：做左旋转。
- 左-右型：先做左旋，后做右旋。
- 右-左型：先做右旋，再做左旋。
1. AVL查找效率非常高，但是有利就有弊，AVL为了维持这种高度的平衡，每次插入和删除时都要做调整，比较耗时，对于频繁插入、删除的数据集合，使用AVL树代价就比较高了。所以，我们就引入了红黑树，红黑树也是一种平衡二叉树，它只做到了近似平衡，并不是严格的平衡，维护平衡的成本要比AVL低。

二、红黑树

1. 红黑树并不是严格的平衡二叉树，它要求从根到叶子的最长路径不多于最短路径的两倍长，为了满足这个特性，红黑树设置了五大规则：
- 规则1：节点是红色或者黑色
- 规则2：根节点是黑色
- 规则3：每个叶子的节点都是黑色的空节点
- 规则4：每个红色节点的两个子节点都是黑色的
- 规则5：从任意节点到其叶子节点的每条路径都包含相同个数的黑色节点
- 必须满足这些规则，才能保证红黑树的自平衡，使根到叶子的最长路径不超过最短路径的2倍。
1. 红黑树的高度近似logn，是近似平衡的二叉树，插入、删除、查找的时间复杂度都是O(logn)，性能非常稳定，在实际工作中，凡是动态插入、删除、查找数据的场景都可以用它。

三、红黑树的平衡调整

1. 对红黑树频繁进行插入、删除操作，可能会破坏五大规则，我们需要进行平衡调整，使其重新满足五大规则，平衡调整有两种方式：变色和旋转，旋转又分为左旋和右旋。
1. 变色，为了重新符合红黑树的五大规则，尝试将黑色节点变成红色节点或者将红色节点变成黑色节点。
1. 左旋转，为了重新符合红黑树的五大规则，尝试对节点X左旋转，如下图，将Y变成新的父节点，X变成Y的左子节点，b变成X的右子节点。

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用_第11张图片

左旋转

1. 右旋转，为了重新符合红黑树的五大规则，尝试对节点X进行右旋转，如下图，让Y顶替自己的位置，X作为右子节点，C作为X的左子节点。

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用_第12张图片

右旋转

四、红黑树的插入和删除

红黑树的插入和删除比较复杂，建议大家看这篇文章，理解即可。理解了原理之后，我们就可以把红黑树的平衡调整过程，当做魔方复原的过程，按照步骤一步一步来即可。

第十八章递归树

一、什么是递归树？

1. 递归的思想就是将大问题分解成小问题，在将小问题分解成小小问题，就这么一直分解下去，直到分解的足够小，不用继续递归分解为止。
1. 我们把一层一层分解的过程画成图，它其实就是一颗树，我们把它叫做递归树。这里画了一颗斐波那契数列的递归树，节点里的数字表示数据的规模，一个节点的求解可以分解成左右子节点的求解。

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用_第13张图片

斐波那契数列的递归树

1. 某些场景下，用递归树可以很快的估算出某个算法的时间复杂度

二、用递归树如何求解时间复杂度？

1. 归并算法还记得吧，我们就借助归并排序来看看，如何用递归树，分析递归代码的时间复杂度。
1. 归并排序每次都会将数据一分为二，我们把归并排序画成递归树，如下图：

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用_第14张图片

归并排序递归树

1. 通过上图可以看出，每一层的数据规模都是n，每一层归并消耗的时间跟数据规模有关系，所以我们每一层耗费的时间都可以记做n；归并排序的递归是满二叉树，满二叉树的高度大约是logn，所以归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)。

三、用递归树分析快速排序的时间复杂度

1. 我们在讲快排的时候讲过，递归算法的时间复杂度的计算方法，当时是这么做的，当分区点每次都恰好将数据等分时，T(n) = 2T(n/2) + n = 2^k * T(n/2^k) + k * n，分解公式在下方，第k次时分解到只剩1个数据，算出k = log₂n，将k带入公式，得出T(n) = nlog₂n + Cn，用大O表示法的话，T(n) = O(nlogn)，但是这只是最好情况的时间复杂度，一旦分区不均匀，计算时间复杂度就会很复杂了，所以我们尝试使用递归树来计算分区不均匀时的快排的时间复杂度。

T(n) = 2*T(n/2) + n
     = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
     = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
     = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
     ......
     = 2^k * T(n/2^k) + k * n
     ......

1. 我们假设每次分区后，分区的比例为1：9，递推公式就可以写为T(n) = T(n/10) + T(9n/10) + n，把递归分解过程画成递归树，就是下面这个样子：

数据结构和算法（四）：二叉树、红黑树、递归树、堆和堆排序、堆的应用_第15张图片

快速排序的递归树

1. 每一层分区操作所遍历的数据个数之和都是n，我们只需要算出递归树的高度h，那么整个快排的过程中遍历的数据个数就是n * h，也就是时间复杂度是O(n * h)
1. 因为每次分区并不是均匀的一分为二，所以快排的递归树不是满二叉树，从根节点到叶子节点的，最短的路径每次乘以1/10，最长的路径每次都乘以9/10，通过计算，可以得出，从根节点到叶子节点最短路径为log₁₀n，最长路径为log_10/9n
1. 所以遍历数据个数的总和就介于nlog₁₀n到nlog_10/9n之间，根据大O表示法，就可以得出时间复杂度是O(nlogn)
1. 分区比例并不随数据规模的变化而变化，是一个常量，所以当分区比例为1:99、1:999、1:9999时，快排的时间复杂度仍然是O(nlogn)，也就可以说快排的平均时间复杂度为O(nlogn)

第十九章堆和堆排序

一、什么是堆？

1. 堆是一种特殊的树，只要满足以下两个条件，就可以称这棵树为堆
- 堆是一颗完全二叉树（完全二叉树要求，除了最后一层，其他节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列）
- 堆中的每一个节点都必须大于等于(或者小于等于)其子树中每个节点的值。
1. 每个节点的值都大于等于其子树每个节点的值的堆，我们称之为大顶堆，每个节点的值都小于等于其子树每个节点的值的堆，我们称之为小顶堆。如下图：
  
  大顶堆、小顶堆、不是堆
1. 从上图可以看出，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

二、如何存储堆？

1. 堆是一颗完全二叉树，比较适合用数组存放，因为用数组存放不需要存储左右子节点的指针，非常节省空间，通过下标就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。下图就是一个数组存放堆的例子：
  
  用数组存储堆
1. 从图中可以看出，下标i的节点的左子节点的下标是i*2，右子节点的下标为i*2+1，父节点的下标为i/2，这是根节点存放在下标1的位置时的规律。

三、堆的插入和删除

1. 我们对堆做删除或插入操作后，可能会破坏堆的两大特性，我们就需要进行调整，使其重新满足堆的两大特性，这个过程，我们称之为堆化(heapify)，堆化有两种：从下往上堆化和从上往下堆化。
1. 往堆中插入一个元素，我们可以用从下往上堆化，就是从下开始顺着节点路径往上走，进行比较，然后交换。例如：往堆中插入元素22，如下图：
  
  往堆中插入元素22

//自定义一个堆，并且插入数据
public class Heap{
    private var array:Array     //存放堆的数组
    private var maxCount: Int        //堆数组可以存储的最大个数
    private var realCount: Int = 0   //堆数组实际存储的数据个数
    
    //初始化一个堆，给定堆的容量
    public init(capacity: Int){
        array = Array(repeating: 0, count: capacity)
        maxCount = capacity
        realCount = 0
    }
    
    public func insert(data: Int){
        if realCount >= maxCount { return } //堆满了
        realCount = realCount + 1
        var i = realCount
        array[i] = data    
        // i/2代表i的父节点
        while(i / 2 > 0 && array[i] > array[i / 2]){    //当节点比其父节点小时，进行交换，这就是从下而上堆化的过程
            array.swapAt(i, i/2)
            i = i / 2
        }
    }
}

var testHeap = Heap(capacity: 10)
testHeap.insert(data: 5)

1. 删除堆顶元素，我们可以采用从上往下堆化，为了避免删除后，堆是不完全二叉树，我们将堆顶元素删除后，要将最后一个元素放到堆顶，然后在进行堆化。例如：我们想删除堆顶元素33，就需要删除33后，将最后一个元素放在堆顶，然后进行堆化，过程如下：
  
  删除堆顶元素33的堆化过程

    //删除堆顶元素
    public func removeMax(){
        if realCount == 0 { return }    //如果堆中没有元素
        array[1] = array[realCount]
        realCount = realCount - 1
        heapify(array: array, realCount: realCount, i: 1)
    }
    
    private func heapify(array:Array, realCount: Int, i: Int){
        var headArray = array
        var i = i
        while true {
            if 2*i < realCount && headArray[i] < headArray[2*i]{
                //如果节点小于其左子节点
                headArray.swapAt(i, 2*i)
                i = 2*i
            }else if 2*i+1 < realCount && headArray[i] < headArray[2*i + 1]{
                //如果节点小于其右子节点
                headArray.swapAt(i, 2*i+1)
                i = 2*i + 1
            }else{
                break
            }
        }
    }

1. 一个包含n个节点的完全二叉树，树的高度不会超过log₂n，堆化的过程是沿着节点路径走的，最多不会超过树的高度，所以堆化的时间复杂度是跟树的高度成正比的，也就是O(logn)；插入和删除堆顶元素主要逻辑就是堆化，所以插入和删除堆顶元素的时间复杂度就是O(logn)

四、如何用堆实现堆排序？

1. 我们学过很多排序算法，有时间复杂度为O(n²)的冒泡排序、插入排序、选择排序，也有时间复杂度为O(nlogn)的归并排序、快速排序。借用堆这种数据结构实现的排序，我们称之为堆排序，堆排序的时间复杂度非常稳定，是O(nlogn)，而且还是原地排序算法。
1. 堆排序的过程可以分解成两个大步骤：建堆和排序
1. 首先，进行建堆，就是在不借助其他数组的前提下，将数组原地建成一个堆，思路是这样，从第一个非叶子节点开始，不断往上依次堆化，如下图，建堆的时间复杂度是O(n)
  
  将原始数据建堆

1. 然后，进行排序，建堆后数据就按照大顶堆的特性排布了，数组中的第一个元素就是堆顶，也是最大的元素，接下来的排序我们这样处理：将堆顶元素与最后一个元素交换，然后除了最后一个元素以外的n-1个元素进行堆化，然后再将堆顶元素与倒数第二个元素交换，然后将除了最后两个元素以外的n-2个元素堆化，一直重复这个过程，知道堆中只剩下下标为1的元素，排序就完成了。我们举个例子说明一下，如下图所示
  
  建堆之后，排序的过程.png
1. 总结一下
- 堆排序的过程只需要个别临时存储空间，所以是原地排序算法；
- 堆排序包括两个步骤：建堆和排序，建堆时间复杂度是O(n)，排序时间复杂度是O(nlogn)，所以堆排序整体的时间复杂度是O(nlogn)；
- 由于堆排序过程中存在堆顶元素和最后一个节点互换的操作，有可能改变原始相对顺序，所以堆排序不是稳定的排序算法

五、实际开发中，为什么快速排序比堆排序性能好？

1. 堆排序数据访问方式没有快速排序友好，快排的数据时顺序访问的，而堆排序的数据时跳着访问的，所以堆排序对CPU缓存不友好。
1. 对于同样的数据，堆排序的交换次数要比快速排序多。因为快速的交换次数是逆序度，而堆排序的建堆过程会打乱顺序，可能会更加无序，导致逆序度提高，所以堆排序交换次数更多一点。

第二十章堆的应用

堆这种数据结构有很多非常重要的应用，例如：优先级队列、求Top K、求中位数

一、优先级队列

1. 优先级队列，顾名思义，它首先应该是一个队列，但是它不想前边讲的队列一样，是先进先出的，而是根据优先级来，优先级高的最先出队。
1. 优先级队列的应用-将多个有序小文件合并成有序大文件，过程是这样的，分别从各个小文件中取一个字符串构建一个小顶堆，堆顶就是最小的字符串，将堆顶写入大文件后，将堆顶删除，然后继续从小文件中取出下一个字符串放入堆中，重新堆化成小顶堆，不断循环这个过程，直到把各个小文件取完。
1. 优先级队列的应用-高性能定时器，用优先级队列我们就不需要每隔1s去扫描任务列表了，而是从优先级队列的队首（也就是小顶堆的堆顶）取出队首任务的执行时间，与当前时间做差值，得到时间间隔T，让定时器T秒后再来执行任务，执行完之后，在重新计算新的队首任务与当前时间的的差值，再次设定定时器。

二、利用堆求Top K

如何在一个包含n个数据的数组中，查找前K大数据呢？我们可以维护一个大小为K的小顶堆，然后顺序遍历数组，如果数据比堆顶大，则删除堆顶，将数据插入到堆顶，然后堆化；如果数据比堆顶小，则不作处理；遍历完成后，就可以得到前K大的数据了。

三、利用堆求中位数

1. 对于n个数据的集合来说，以前的做法都是先排序，然后才能取到中位数，如果数据一直在动态变化，我们就需要不断的排序，成本就会很高了，而借助堆这种数据结构，我们就不用排序，就可以取到中位数。
1. 我们需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，大顶堆存储前半部分数据，小顶堆存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆的数据，这样存储的话，大顶堆的堆顶就是我们要找的中位数了。例如：如下图所示，1、2、3、4、5、6、7这组数据的中位数就是4。
  
  用堆求中位数
1. 当新插入一个数据时，就可能会破坏我们前边的约定，我们可以这样处理：新插入的数据大于大顶堆的堆顶，就把新数据插入到小顶堆，否则就插入到大顶堆；总数据量为奇数时，大顶堆应该比小顶堆多一个，总数据量为偶数时，大顶堆应该和小顶堆的数据相同；按照这个规律，我们就把数据多的堆的堆顶移动至数据少的堆中。如下图：
  
  两个堆移动元素，以保持约定.png
1. 利用一个大顶堆、一个小顶堆，我们就可以实现在动态的数据集合中快速求得中位数，这样做，在插入数据的时候需要涉及堆化，所以插入数据的时间复杂度变成了O(logn)，但是中位数就是大顶堆的堆顶，所以查找中位数的时间复杂度就优化成了O(1)。（虽然降低了插入的效率，但是提高了查找中位数的效率）