文章也同时在个人博客 http://kimihe.com/更新
引言
“一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。”相信大家对上面这则故事一定不陌生。对于该故事寓意的解释有很多，例如要团结合作，合理分工，按劳分配等等。
看似是小学作文素材的故事，仔细思考后其蕴涵的科学原理仍旧会让人大开眼界。本文就带领大家挖掘一下其背后的科学解释。
概述
故事的内容大致就是关于几个和尚挑水喝而产生的劳动与分配矛盾，重点是围绕和尚们挑水或不挑水，这会导致故事不同的结局。
无论有多少个和尚，在该故事中他们都有两个选择，即挑水或不挑水。他们自觉地根据自己的最优利益进行决策，而这些决策有时候会导致大家的利益都受到损害。上述的“决策”一词正是本文想要谈论的核心，决策在科学研究中有专门的一个领域，名叫：博弈论。
博弈论
定义
利益冲突伴随着人类社会发展的始终，在人与人之间存在矛盾与竞争时，参与者所进行的行为选择，我们可以称之为“博弈”。古代田忌赛马的故事是运用博弈论的一个典型案例。但博弈论目前还没有准确完备的定义，
博弈论可以看作是多人决策理论，即两个及以上的参与者之间的决策理论。并且我们通常假设每个参与者都是理性的，即在面临给定的约束条件下会主动地最大化自己的收益。
组成元素
博弈的基本元素包括：参与者(Player)，行动(Action)，信息(Information)，策略(Strategy)，支付(或报酬，Payoff)，理性(Rationality)，目标(Objective)，行动顺序(Order of Play)，结果(Outcome)和均衡(Equilibrium)。
众多术语可能会令读者感到困惑，针对本文要分析的“和尚喝水问题”，我们可以只关注上述加粗的部分，这是最关键的五个核心要素。
模型
我们可以把问题建模成如下：
- 参与者为和尚 T = {1,2,3};
- 每个参与者都有各自的非空策略空间S，在这里就是{挑水，不挑水};
- 每个参与者有自己的支付函数(即收益)u，体现为：喝到水的收益与挑水付出的劳动之差。
- 为简化问题，我们假设每个参与者的决策没有先后顺序，即他们同时作出决定。
- 最终参与者会达到一种博弈的平衡状态，在此状态下每个参与者都实现了自身利益的最大化，我们称之为：均衡。
纳什均衡(Nash Equilibrium)
这里我们着重介绍一下纳什均衡的概念，上述的平衡状态即属于纳什均衡。我们定义：每一个参与者的收益达到了一种最大化的平衡，在该状态下，任何一个参与者一旦选择其它策略，那么他的收益将会减少或者不变，但绝对不会增加。根据是否会严格减少，我们可以将纳什均衡分为强纳什均衡与弱纳什均衡。我们通常研究强纳什均衡。
由于参与者的个数较少，决策也有限，我们可以枚举出所有策略下每个参与者的支付函数，以此直观地来探究纳什均衡时的实际意义。
问题分析
我们假设参与者个数为n。每个参与者挑一次水需要付出的劳动为C，一个参与者每次挑到水的毛收益为G。所有的水需要平分给大家，于是每个人的收益为G/n。最终每个参与者的净收益则为：G/n-C。
一个参与者
对于一个和尚的情况，很显然他必需要去挑水，否则收益为0。或者说与其坐等口渴不如去挑水，让自己的收益更大。只要满足G>C即可，这是显然成立的。
两个参与者
对于A和B两个和尚，我们可以得到如下“支付矩阵”：
| B挑水 | B不挑水 | |
|---|---|---|
| A挑水 | u11(G-C, G-C) | u12(G/2-C, G/2) |
| A不挑水 | u21(G/2, G/2-C) | u22(0, 0) |
故事中，两个和尚抬水喝，说明这是他们达成的纳什均衡。根据纳什均衡的定义，此时，任何一个参与者一旦选择其它策略就会损害自己的收益，也就是说u11的收益是最好的，此时A和B都选择挑水。
以A为例，一旦他选择不挑水，支付函数u就会从u11转到u12，此时要满足纳什均衡的条件，则要求：
- G-C > G/2-C;
- G-C > G/2;
解得：
- G > 0;
- G > 2C;
第一点说明挑水的毛收益要大于0，这一点肯定是满足的，除非水桶是漏的。而第二点中，毛收益要大于付出劳动的两倍，在现实生活中这一点也是很容易满足的，没有人愿意为了接一杯水而下山，一般都会一次性挑尽可能多的水。
三个参与者
A，B，C三个和尚进行博弈，我们同上分析可以得到8种情况：
| 支付函数ui | |
|---|---|
| A挑水, B挑水, C挑水 | u111(G-C, G-C, G-C) |
| A挑水, B挑水, C不挑水 | u110(2G/3-C, 2G/3-C, 2G/3) |
| A挑水, B不挑水, C挑水 | u101(2G/3-C, 2G/3, 2G/3-C) |
| A挑水, B不挑水, C不挑水 | u100(G/3-C, G/3, G/3) |
| A不挑水, B挑水, C挑水 | u011(2G/3, 2G/3-C, 2G/3-C) |
| A不挑水, B挑水, C不挑水 | u010(G/3, G/3-C, G/3) |
| A不挑水, B不挑水, C挑水 | u001(G/3, G/3, G/3-C) |
| A不挑水, B不挑水, C不挑水 | u000(0, 0, 0) |
故事中三个上最后都没有去挑水，纳什均衡是u000。同样根据均衡的定义，我们可以如下分析，首先从u111入手，此时大家都去挑水，收益都为G-C。但其中一个人(以C为例)发现自己不挑水反而收益更高，于是C不挑水，此时u111跳转到u110，根据此时C收益更多，我们要满足：
- G-C < 2G/3;
接着另外一个人发现u110(以B为例)情况下，自己不挑水也收益更多，于是B也不挑水，u110条转到u100，同理要求满足：
- 2G/3-C < G/3;
最终A也发现自己要吃亏，因为自己付出了劳动却要平分给三个人，可能会让自己入不敷出，于是也决定不挑水，u100跳转到了u000，此时满足：
- G/3-C < 0;
三式联立我们可以解得：
- G < 3C;
在三个和尚博弈的模型中，大家都是理性的，只要挑一次水的毛收益低于付出劳动的三倍，最终必然会导致三个和尚都不去挑水。而在现实生活中，上述不等式是可能成立的，例如那个水桶较小。
总结
至此大家应该对和尚喝水的寓言有了更深的理解，同时本文也抛砖引玉地向大家展现了博弈论的作用。
博弈论起源于经济学，感谢博弈论大师约翰·纳什在其开创性论文《n人博弈的均衡点》[1]和《非合作博弈》[2]中给出了纳什均衡(Nash Equilibrium)的概念和均衡存在性定理。
如今博弈论已经在众多非经济学科学领域崭露头角，成为了一种求解最优化问题的有力工具。
参考文献
- [1] Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1950, 36(1):48-49.
- [2] Nash J. Non-Cooperative Games[J]. Ann.math.stud, 1951, 54(3):286-295.