Hinton和Jordan理解的EM算法

在“Hinton是如何理解PCA？”里面，我们体会到Hinton高人一等的见解。 Hinton, 这个深度学习的缔造者( 参考攒说 Geoff Hinton) ， Jordan 当世概率图模型的集大成者（参考 “乔丹上海行”），他们碰撞的领域，EM算法！这个是PCA外的，另外一个无监督学习的经典，是我们的主题。

他们怎么认识的呢？Jordan的导师，就是著名的链接主义核心人物Rumelhart

（参考“易图秒懂の连接主义诞生”）。在“人工智能深度学习人物关系[全]”里面我们介绍到，Hinton和Rumelhart是同事，都在Francis Crick的小组。

前言

为什么说EM算法是他们强强发力的领域呢？

这里我们讨论Hinton和统计大神Jordan的强强发力的领域。当Bayes网络发展到高级阶段，概率图模型使得计算成为问题，由此开启了Variational Bayes领域。在“变の贝叶斯”里面，我们解释了研究Variational Bayes，有3拨人。第一拨人，把物理的能量搬到了机器学习（参考 “给能力以自由吧！”）。第二拨人，就是Hinton，他将VB和EM算法联系了起来，奠定了现在我们看到的VB的基础。第三拨人，就是Jordan，他重建了VB的框架ELBO的基础。所以说EM算法扩展的VBEM算法，就是Hinton和Jordan共同发力的部分。

Hinton曾在采访中，不无感慨的说到，他当时研究VB和EM算法的关系的时候，主动去请教当时的EM算法的大佬们，结果那些人说Hinton是异想天开，神经有问题。但是最终，他还是突破重围，搞定了VBEM算法，打下了VB世界最闪光的那盏灯。老爷子真心不容易！如果想切实深入到VB的世界，我推荐Daphne Koller的神书“Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques”，尤其其中的第8章：The Exponential Family 和第19章 Partially Observed Data。这两章几乎是Hinton对VBEM算法研究的高度浓缩。国内机器学习牛人王飞跃老师，率领各路弟子花了5年时间翻译了这本神书！所以有中文版，买了，反复阅读8、19章，要的！

为什么无监督深度学习突出成果都是Hinton和Jordan家的？

无监督深度学习，除了强化学习，主要包括BM、自动编码器AE和GAN领域。 1）这些领域中的DBN和DBM是Hinton搞的。2）AE中的经典，VAE是DP Kingma和M Welling搞得。 DP Kingma硕士导师是LeCun，LeCun的博士后导师是Hinton，并且Welling的博士后导师是Hinton。 3）而GAN是Ian Goodfellow和Yoshua Bengio的杰作， Goodfellow是Bengio的学生，而Bengio的博士后导师是Jordan。一句话，无监督深度学习的经典模型几乎全是Hinton和Jordan家的。为什么？因为能彻底理解EM算法到深不见底的人非Hinton和Jordan莫属。

你现在明白彻底理解EM算法的重要性了吧？下面我浅薄的纵向理解（忽略EM的各种变种的横向）EM算法的9层境界，再回头反思一下Hinton和Jordan等会对EM算法的理解到何种程度，简直叹而观止！

EM算法理解的九层境界

EM 就是 E + M

EM 是一种局部下限构造

K-Means是一种Hard EM算法

从EM 到广义EM

广义EM的一个特例是VBEM

广义EM的另一个特例是WS算法

广义EM的再一个特例是Gibbs抽样算法

WS算法是VAE和GAN组合的简化版

KL距离的统一

第一层境界， EM算法就是E 期望 + M 最大化

最经典的例子就是抛3个硬币，跑I硬币决定C1和C2，然后抛C1或者C2决定正反面，然后估算3个硬币的正反面概率值。

这个例子为什么经典，因为它告诉我们，当存在隐变量I的时候，直接的最大似然估计无法直接搞定。什么是隐变量？为什么要引入隐变量？对隐变量的理解是理解EM算法的第一要义！Chuong B Do & Serafim Batzoglou的Tutorial论文“What is the expectation maximization algorithm?”对此有详细的例子进行分析。

通过隐变量，我们第一次解读了EM算法的伟大！突破了直接MLE的限制（不详细解释了）。

至此，你理解了EM算法的第一层境界，看山是山。

第二层境界， EM算法就一种局部下限构造

如果你再深入到基于隐变量的EM算法的收敛性证明，基于log(x)函数的Jensen不等式构造，我们很容易证明，EM算法是在反复的构造新的下限，然后进一步求解。

所以，先固定当前参数，计算得到当前隐变量分布的一个下届函数，然后优化这个函数，得到新的参数，然后循环继续。

也正是这个不停的构造下限的思想未来和VB方法联系起来了。如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第二层境界，看山看石。

第三层境界，K-均值方法是一种Hard EM算法

在第二层境界的基础上，你就能随意傲游EM算法用到GMM和HMM模型中去了。尤其是对GMM的深入理解之后，对于有隐变量的联合概率，如果利用高斯分布代入之后：

很容易就和均方距离建立联系：

但是，能不能说K-均值就是高斯分布的EM算法呢？不是，这里虽然拓展到了相同的距离公式，但是背后逻辑还是不一样，不一样在哪里呢？K-均值在讨论隐变量的决定时候，用的是dirac delta 分布，这个分布是高斯分布的一种极限。

如果你觉得这个扩展不太好理解，那么更为简单直观的就是， k-均值用的hard EM算法，而我们说的EM算法是soft EM算法。所谓hard 就是要么是，要么不是0-1抉择。而Soft是0.7比例是c1，0.3比例是c2的情况。

那么充分理解了k-均值和EM算法本身的演化和差异有什么帮助呢？让你进一步理解到隐变量是存在一种分布的。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第三层境界，看山看峰。

第四层境界，EM 是广义EM的特例

通过前3层境界，你对EM算法的理解要跨过隐变量，进入隐分布的境界。如果我们把前面的EM收敛证明稍微重复一下，但是引入隐分布。

这样我们把Jensen不等收右边的部分定义为自由能（如果你对自由能有兴趣，请参考“给能量以自由吧！”，如果没有兴趣，你就视为一种命名）。那么E步骤是固定参数优化隐分布， M步骤是固定隐分布优化参数，这就是广义EM算法了。

有了广义EM算法之后，我们对自由能深入挖掘，发现自由能和似然度和KL距离之间的关系：

所以固定参数的情况下，那么只能最优化KL距离了，那么隐分布只能取如下分布：

而这个在EM算法里面是直接给出的。所以EM算法是广义EM算法的天然最优的隐分布情况。但是很多时候隐分布不是那么容易计算的！

前面的推理虽然很简单，但是要理解到位真心不容易，首先要深入理解KL距离是如何被引入的？

其次要理解，为什么传统的EM算法，不存在第一个最优化？因为在没有限制的隐分布（天然情况下）情况下，第一个最优就是要求：

而这个隐分布， EM算法里面是直接给出的，而不是让你证明得到的。

这样，在广义EM算法中，你看到两个优化步骤，我们进入了两个优化步骤理解EM算法的境界了。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第四层境界，有水有山。

第五层境界，广义EM的一个特例是VBEM

在隐分布没有限制的时候，广义EM算法就是EM算法，但是如果隐分布本身是有限制的呢？譬如有个先验分布的限制，譬如有计算的限制呢？

例如先验分布的限制：从pLSA到LDA就是增加了参数的先验分布！

例如计算上的限制：mean-field计算简化的要求，分量独立。

诸如此类限制，都使得广义EM里面的第一步E优化不可能达到无限制最优，所以KL距离无法为0。

基于有限制的理解，再引入模型变分的思想，根据模型m的变化，对应参数和隐变量都有相应的分布：

并且满足分布独立性简化计算的假设：

在变分思想下，自由能被改写了：

这样我们就得到了VBEM算法了：

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第五层境界，水转山回。

第六层境界，广义EM的另一个特例是WS算法

Hinton老爷子搞定VBEM算法后，并没有停滞，他在研究DBN和DBM的Fine-Tuning的时候，提出了Wake-Sleep算法。我们知道在有监督的Fine-Tuning可以使用BP算法，但是无监督的Fine-Tuning，使用的是Wake-Sleep算法。

就是这个WS算法，也是广义EM算法的一种特例。WS算法分为认知阶段和生成阶段。

在前面自由能里面，我们将KL距离引入了，这里刚好这两个阶段分别优化了KL距离的两种形态。固定P优化Q，和固定Q优化P。

所以当我们取代自由能理解，全部切换到KL距离的理解，广义EM算法的E步骤和M步骤就分别是E投影和M投影。因为要求KL距离最优，可以等价于垂直。而这个投影，可以衍生到数据D的流形空间，和模型M的流形空间。

所以你认同WS算法是一种广义EM算法（GEM）之后，基于KL距离再认识GEM算法。引入了数据流形和模型流形。引入了E投影和M投影。

不过要注意的wake识别阶段对应的是M步骤，而sleep生成阶段对应的E步骤。所以WS算法对应的是广义ME算法。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第六层境界，山高水深。

第七层境界，广义EM的再一个特例是Gibbs Sampling

其实，前面基于KL距离的认知，严格放到信息理论的领域，对于前面E投影和M投影都有严格的定义。M投影的名称是类似的，但是具体是moment projection，但是E投影应该叫I投影，具体是information projection。

上面这种可能不太容易体会到M投影和I投影的差异，如果再回到最小KL距离，有一个经典的比较。可以体会M投影和I投影的差异。上面是I投影，只覆盖一个峰。下面是M投影，覆盖了两个峰。

当我们不是直接计算KL距离，而是基于蒙特卡洛抽样方法来估算KL距离。

有兴趣对此深入的，可以阅读论文“On Monte Carlo methods for estimating ratios of normalizing constants”

这时候，广义EM算法，就是Gibbs Sampling了。所以Gibbs Sampling，本质上就是采用了蒙特卡洛方法计算的广义EM算法。

所以，如果把M投影和I投影看成是一个变量上的最小距离点，那么Gibbs Sampling和广义EM算法的收敛过程是一致的。

VAE的发明者，Hinton的博士后， Max Welling在论文“Bayesian K-Means as a “Maximization-Expectation” Algorithm”中，对这种关系有如下很好的总结！

另外， Zoubin Ghahramani， Jordan的博士，在“Factorial Learning and the EM Algorithm”等相关论文也反复提到他们之间的关系。

这样，通过广义EM算法把Gibbs Sampling和EM， VB， K-Means和WS算法全部联系起来了。有了Gibbs Sampling的背书，你是不是能更好的理解，为什么WS算法可以是ME步骤，而不是EM的步骤呢？另外，我们知道坐标下降Coordinate Descent也可以看成一种Gibbs Sampling过程，如果有人把Coordinate Descent和EM算法联系起来，你还会觉得奇怪么？

现在我们发现VB和Gibbs Sampling都可以放到广义EM的大框架下，只是求解过程一个采用近似逼近，一个采用蒙特卡洛采样。有了EM算法和Gibbs Sampling的关系，现在你理解，为什么Hinton能够发明CD算法了么？细节就不展开了。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第七层境界，山水轮回。

第八层境界，WS算法是VAE和GAN组合的简化版

Jordan的弟子邢波老师，他的学生胡志挺，发表了一篇文章， On Unifying Deep Generative Models，试图通过WS算法，统一对VAE和GAN的理解。

对VAE的理解，变了加了正则化的KL距离，而对于GAN的理解变成了加Jensen–Shannon 散度。所以，当我们把广义EM算法的自由能，在WS算法中看成KL散度，现在看成扩展的KL散度。对于正则化扩展，有很多类似论文， “Mode Regularized Generative Adversarial Networks”， “Stabilizing Training of Generative Adversarial Networks through Regularization” 有兴趣可以读读。

所以对于VAE，类比WS算法的Wake认知阶段，不同的是在ELBO这个VBEM目标的基础上加了KL散度作为正则化限制。再应用再参数化技巧实现了VAE。

而对应到GAN，类比Sleep阶段，正则化限制换了JSD距离，然后目标KL距离也随着不同GAN的变体也可以变化。

所以，VAE和GAN都可以理解为有特殊正则化限制的Wake-Sleep步骤，那么组合起来也并不奇怪。

这就是为什么那么多论文研究如何组合VAE/GAN到同一个框架下面去。目前对这方面的理解还在广泛探讨中。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第八层境界，水中有水、山外有山。

第九层境界，KL距离的统一

Jordan 大佬的一片论文，开启了KL距离的统一， “On surrogate loss functions and f-divergences”。里面对于所谓的正反KL距离全部统一到 f 散度的框架下面。 Jordan 首先论述了对于损失函数统一的Margin理论的意义。

然后把这些损失函数也映射到 f 散度：

然后微软的 Sebastian Nowozin，把 f-散度扩展到GAN “f-GAN: Training Generative Neural Samplers using Variational Divergence Minimization”。

然后对正反KL散度也做了一次统一。

对于 f-散度的理解离不开对Fenchel对偶的理解（参考“走近中神通Fenchel”）。

除了f-散度，还有人基于bregman散度去统一正反KL散度的认知。 KL散度就是香农熵的bregman散度。

而Bregman散度本身是基于一阶泰勒展开的一种偏离度的度量。

然后再基于Bregman距离去研究最小KL投影，函数空间采用香农熵（参考“信息熵的由来”）。

无论f-散度还是bregman散度对正反KL距离的统一，之后的广义EM算法，都会变得空间的最优投影的交替出现。或许广义EM算法也成了不同流形空间上的坐标梯度下降算法而已coodinate descent。

如果你理解了这个，恭喜你，进入理解EM算法的第九层境界，山水合一。

小结

这里浅薄的介绍了理解EM算法的9层境界，托名Hinton和Jordan，着实是因为佩服他们俩和各自的弟子们对EM算法，甚至到无监督深度学习的理解和巨大贡献。想来Hinton和Jordan对此必定会有更为深刻的理解，很好奇会到何种程度。。。最后依然好奇，为啥只有他们两家的子弟能够不停的突破无监督深度学习？Hinton 老仙说，机器学习的未来在于无监督学习！

Hinton和Jordan理解的EM算法

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