众所周知，2017年ICLR出产的GCN现在是多么地热门，仿佛自己就是图神经网络的名片。然而，在GCN的风头中，很多人忽略了GCN本身的巨大局限——Transductive Learning——没法快速表示新节点，这限制了它在生产环境中应用。同年NIPS来了一篇使用Inductive Learning的GraphSAGE，解决了这个问题。今天，让我们来一起琢磨琢磨这个GraphSAGE是个什么玩意儿。
一、回顾GCN及其问题
GCN的基本思想： 把一个节点在图中的高纬度邻接信息降维到一个低维的向量表示。 GCN的优点： 可以捕捉graph的全局信息，从而很好地表示node的特征。 GCN的缺点： Transductive learning的方式，需要把所有节点都参与训练才能得到node embedding，无法快速得到新node的embedding。
得到新节点的表示的难处： 要想得到新节点的表示，需要让新的graph或者subgraph去和已经优化好的node embedding去“对齐”。然而每个节点的表示都是受到其他节点的影响，因此添加一个节点，意味着许许多多与之相关的节点的表示都应该调整。这会带来极大的计算开销，即使增加几个节点，也要完全重新训练所有的节点，这可太费劲了。
因此我们需要换一种思路：
既然新增的节点，一定会改变原有节点的表示，那么我们干嘛一定要得到每个节点的一个固定的表示呢？我们何不直接学习一种节点的表示方法。这样不管graph怎么改变，都可以很容易地得到新的表示。
二、GraphSAGE是怎么做的
针对这种问题，GraphSAGE模型提出了一种算法框架，可以很方便地得到新node的表示。
基本思想： 去学习一个节点的信息是怎么通过其邻居节点的特征聚合而来的。 学习到了这样的“聚合函数”，而我们本身就已知各个节点的特征和邻居关系，我们就可以很方便地得到一个新节点的表示了。
GCN等transductive的方法，学到的是每个节点的一个唯一确定的embedding； 而GraphSAGE方法学到的node embedding，是根据node的邻居关系的变化而变化的，也就是说，即使是旧的node，如果建立了一些新的link，那么其对应的embedding也会变化，而且也很方便地学到。
1. Embedding generation
即GraphSAGE的前向传播算法。
上面的算法的意思是：
假设我们要聚合K次，则需要有K个聚合函数（aggregator），可以认为是N层。 每一次聚合，都是把上一层得到的各个node的特征聚合一次，在假设该node自己在上一层的特征，得到该层的特征。如此反复聚合K次，得到该node最后的特征。 最下面一层的node特征就是输入的node features。
用作者的图来表示就是这样的：（虽然酷炫，但有点迷糊）
我来画一个图说明：（虽然朴素，但是明明白白）
这里需要注意的是，每一层的node的表示都是由上一层生成的，跟本层的其他节点无关。
2.GraphSAGE的参数学习
在上面的过程中，我们需要学习各个聚合函数的参数，因此需要设计一个损失函数。 损失函数是设计是根据目标任务来的，可以是无监督的，也可以是有监督的。
对于无监督学习，我们设计的损失函数应该让临近的节点的拥有相似的表示，反之应该表示大不相同。所以损失函数是这样的：
也没什么好解释的。
对于有监督学习，可以直接使用cross-entropy。
3. 聚合函数的选择
这里作者提供了三种方式：
Mean aggregator ：
直接取邻居节点的平均，公式过于直白故不展示。-
GCN aggregator：
这个跟mean aggregator十分类似，但有细微的不同，公式如下：
把这个公式，去替换前面给的Algorithm1中的第4,5行。
自己体会一下哪里不同。想不明白的留言。实际上，这个几乎就是GCN中的聚合方式，想一想为啥。 LSTM aggregator： 使用LSTM来encode邻居的特征。 这里忽略掉邻居之间的顺序，即随机打乱，输入到LSTM中。这里突然冒出来一个LSTM我也是蛮惊讶，作者的想法是LSTM的表示能力比较强。但是这里既然都没有序列信息，那我不知道LSTM的优势在何处。
-
Pooling aggregator： 把各个邻居节点单独经过一个MLP得到一个向量，最后把所有邻居的向量做一个element-wise的max-pooling或者什么其他的pooling。
这就是GraphSAGE的主要内容了，其实思路还是十分简洁的，理解起来也比GCN容易多了。
邻居的定义：
前面一直都没讨论一个点，那就是如何选择一个节点的邻居以及多远的邻居。
这里作者的做法是设置一个定值，每次选择邻居的时候就是从周围的直接邻居（一阶邻居）中均匀地采样固定个数个邻居。
那我就有一个疑问了？每次都只是从其一阶邻居聚合信息，为何作者说：
随着迭代，可以聚合越来越远距离的信息呢？
后来我想了想，发现确实是这样的。虽然在聚合时仅仅聚合了一个节点邻居的信息，但该节点的邻居，也聚合了其邻居的信息，这样，在下一次聚合时，该节点就会接收到其邻居的邻居的信息，也就是聚合到了二阶邻居的信息了。
还是拿出我的看家本领——用图说话：
我的天，这个图简直画的太好了吧。
图中（为了图的简洁，这里假设只随机聚合两个邻居）可以看出，层与层之间，确实都是一阶邻居的信息在聚合。在图中的“1层”，节点v聚合了“0层”的两个邻居的信息，v的邻居u也是聚合了“0层”的两个邻居的信息。到了“2层”，可以看到节点v通过“1层”的节点u，扩展到了“0层”的二阶邻居节点。因此，在聚合时，聚合K次，就可以扩展到K阶邻居。
在GraphSAGE的实践中，作者发现，K不必取很大的值，当K=2时，效果就灰常好了，也就是只用扩展到2阶邻居即可。至于邻居的个数，文中提到S1×S2<=500，即两次扩展的邻居数之际小于500，大约每次只需要扩展20来个邻居即可。这也是合情合理，例如在现实生活中，对你影响最大就是亲朋好友，这些属于一阶邻居，然后可能你偶尔从他们口中听说一些他们的同事、朋友的一些故事，这些会对你产生一定的影响，这些人就属于二阶邻居。但是到了三阶，可能基本对你不会产生什么影响了，例如你听你同学说他同学听说她同学的什么事迹，是不是很绕口，绕口就对了，因为你基本不会听到这样的故事，你所接触到的、听到的、看到的，基本都在“二阶”的范围之内。
三、效果：
这个部分是最没意思的，毕竟谁发paper不是说自己的模型最牛逼？
思考 & GCN的反刍：
在看完GraphSAGE之后，我又回头把GCN思考了一遍。从直观上去看，我一开始觉得GraphSAGE和GCN截然不同，后来发现只是论文作者的介绍的角度不同，实际上两者的本质上没有很大差别。或者说，懂了GraphSAGE的原理之后，再去看GCN，会发GCN没那么难以理解了。
来人啊，GCN公式搬上来：
额，，，这个是丑版本的公式，还是上美版本的吧：
中间这个A帽子，就是上面丑公式中的那一大串东西。对A帽子的理解，其实它就是归一化的邻接矩阵。这里我们直接当做邻接矩阵吧！
H是节点的每一层的特征矩阵。
这个公式的内部，画成矩阵相乘的形式是这样的：
其中，A是n×n维，H是n×m维，W则是m×u维。n就是节点个数，m则是节点特征的维度，u就是神经网络层的单元数。
我们先看看A乘以H是个啥意思：
A帽子矩阵的第i行和H矩阵的第j列对应元素相乘在求和就得到Q矩阵的(i,j)个元素。
这都是最基本的线性代数了，但我们不妨再仔细看看我图中高亮的那几个向量的内部：
这个图说的明明白白，所以我们发现，GCN的这一步，跟GraphSAGE是一样的思想，都是把邻居的特征做一个聚合（aggregation）。
所以，都是一个词——Aggregate！Aggregate就完事儿了。
这也是为什么GraphSAGE的作者说，他们的mean-aggregator跟GCN十分类似。在GCN中，是直接把邻居的特征进行求和，而实际不是A跟H相乘，而是A帽子，A帽子是归一化的A，所以实际上我画的图中的邻居关系向量不应该是0,1构成的序列，而是归一化之后的结果，所以跟H的向量相乘之后，相当于是“求平均”。GraphSAGE进一步拓展了“聚合”的方法，提出了LSTM、Pooling等聚合方式，不是简单地求平均，而是更加复杂的组合方式，所以有一些效果的提升也是在情理之内的。
至于说为什么GCN是transductive，为啥要把所有节点放在一起训练？
我感觉不一定要把所有节点放在一起训练，一个个节点放进去训练也是可以的。无非是你如果想得到所有节点的embedding，那么GCN可以让你一口气把整个graph丢进去，直接得到embedding，还可以直接进行节点分类、边的预测等任务。
其实，通过GraphSAGE得到的节点的embedding，在增加了新的节点之后，旧的节点也需要更新，这个是无法避免的，因为，新增加点意味着环境变了，那之前的节点的表示自然也应该有所调整。只不过，对于老节点，可能新增一个节点对其影响微乎其微，所以可以暂且使用原来的embedding，但如果新增了很多，极大地改变的原有的graph结构，那么就只能全部更新一次了。从这个角度去想的话，似乎GraphSAGE也不是什么“神仙”方法，只不过生成新节点embedding的过程，实施起来相比于GCN更加灵活方便了。