图的奇葩定义

在线性表中，每个元素之间只有一个直接前驱和一个直接后继，在树形结构中，数据元素之间是层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。
但这仅仅都只是一对一，一对多的简单模型，如果要研究如人与人之间关系就非常复杂了。

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G(V, E), 其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系

对于图的定义我们需要明确一下几个地方：

1. 线性表中我们把数据元素叫做元素，树中叫节点，在图中数据元素我们则称之为顶点（Vettex）。
2. 线性表中可以没有数据元素，称为空表，树中可以没有结点，叫做空树，而图结构在咋国内大部分的教材中强调顶点集合V要有穷非空。
3. 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

图的各种奇葩定义

1. 无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则这条边为无向边（Edge）,用无序偶（Vi,Vj）来表示。

   
   
   

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   上图中G1是一个无向图，G1={V1，E1},其中 V1={A,B,C,D} E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

2. 有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）,用有序偶来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

   
   
   

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   上图G2是一个无向图，G2={V2,E2},其中V2={A,B,C,D} E={,,,}

3. 简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

   
   
   

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4. 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图，含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。

   
   
   

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5. 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。

   
   
   

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6. 稀疏图和稠密图：这里的稀疏图和稠密图是模糊的概念，都是相对而言，通常认为边或弧小于n*logn(n是顶点的个数)的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

7. 有些图的边或弧带有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的树叫做权（Weight），带权的图通常称为网（Network）。

   
   
   

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8. 假设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),如果V2⊆V1,E2⊆E1，则称G2为G1的子图（Subgraph）。
   

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9. 对于无向图G(V，E),如果边（V1,V2）⊆E，则称顶点V1和V2互为邻接点（Adjacent），即V1和V2相邻接。边（V1,V2）依附（Incident）于顶点V1和V2，或者说边（V1,V2）与顶点V1和V2相关联。

10. 顶点V的度（Degree）是和V相关联的边的数目，记为TD(V)，如下图，顶点A与B互为邻接点，边（A,B）依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。

    
    
    

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11. 对于有向图G=(V，E)，如果有∈E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。以顶点V为头的弧的数目称为V的入度（InDegree），记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度（OutDegree）记为OD(V)，因此顶点V的度为TD(V)=ID(V)+OD(V)。下图顶点A的入度是2，出度是1，所以顶点A的度是3。
    

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12. 无向图G=(V，E)中从顶点V1到顶点V2的路径（Path）。下图用红线列举了从顶点B到顶点D的四种不同路径：
    

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    如果G是有向图，则路径也是有向的。下图用红线列举顶点B到顶点D的两种路径，而顶点B就不存在路径啦。

    
    
    

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    路径的长度是路径上的边或弧的数目。
    第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）。
    

    序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或者简单环。下图左则是简单环，右侧不是简单环：

    
    
    

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    在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果对于图中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图（ConnectedGraph）。下图左侧不是连通图，右侧是连通图：
    
    

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    无向图中的极大连通子图称为连通分量。

13. 在有向图G中，如果对于每一对Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。下图左侧并不是强连通图，右侧是。并且右侧是左侧的极大强连通子图，也是左侧的强连通分量。

    
    
    

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14. 连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中的全部的n个顶点，但只有足以构成一颗树的n-1条边。

    
    
    

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15. 如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点入度都为1，则是一颗有向树。

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