2. 高维运动的描述

高维运动的描述

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本次课会涉及下列数学符号 f(x)

, , , , , , , , , , ,

对应的代码为

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

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知识点

• 平面直角坐标系下的矢量

  有大小，有方向。大小为

  我们约定，小写字母都是对应的矢量的大小。

• 位矢 ，速度 , 加速度

  ​

  ​ 则速度

  ​ 加速度

  ​ 借助速度和加速度，我们可以对运动情况进行分析：该运动为水平速度恒定，竖直方向加速度恒定的运动。

• 轨迹方程 关于的方程，不关心时间。

  • 写成分量式
    
  • 消元法除掉，只得到即可。

• 位矢的大小，速率，加速度的大小

  例子：

  ​ ，求, , , 以及何时加速度最大。

  ​

  ​ 对吗？不对！反例：匀速率圆周运动。

• 一段时间的路程 ，半径的增量，位移

  • 的几何意义：起点、终点间轨迹的长度

  • 的几何意义：起点指向终点的有向线段

  • 的几何意义：与原点间距离的增量

  • • 等号成立的条件：

      • 极限情况
      • 单向直线运动

• 曲线运动的加速度

  • 匀速圆周运动的加速度
    • 向心加速度，或法向加速度，符号。作用是改变速度的方向。
  • 直线运动的加速度
    • 切向加速度。符号。作用是改变速度的大小。
  • 变速圆周运动的加速度
  • 一般曲线运动的加速度表达式
    • 加速度的大小
    • 曲率半径

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表达题

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• 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为．则在 到 时间内的平均速度为

解答：

• 设质点的运动学方程为 (式中、皆为常量) 则质点的速度为

解答：记得求导得 ，而求导得 .

轨迹方程的求法，令 , ，平方相加，消元法消去，得到与的函数关系记为轨迹：.

已知，不随时间变化，故为匀速圆周远动。

• 运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
  
  则时刻的速度与速率

解答：直角坐标形式，知。继续求导即可。最后别忘了和的差别，前者是速度的大小，后者是速度矢量。

• 质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为，至时间内的位移为，路程为，位矢大小的变化量为
  ( 或称),平均速度为,平均速率为 ． 根据上述情况,则必有

解答：

• 速度的表达式为，初学者可能误认为对于任意时刻有，这是错误的。这只是一个记号，它的真实含义是任意时刻，，实际运算中用求导法则计算。比如，已知质点的运动方程为，则时刻位矢为, 那么时刻的速度呢？吗？遵循这一思路，请求出该质点在时刻的加速度

解答：

• 理解抽象符号是深入学习的必备条件之一 。一个质点，在时刻位矢为,离开原点的距离为(简称半径，大小为)；在时刻位矢为,离开原点的距离为；在至时间内：走过的路程(轨迹的长度)为, 位矢的增量(末态-初态,简称位移)为，半径的增量为( 末态-初态，大小为)。设一个质点以坐标原点为圆心、以1为半径，做逆时针的圆周运动，时刻在(1,0)位置，时刻第一次转到(0,1)位置。则这短时间内的、、分别为

解答：, ,

• 通常情况下，两点之间直线长度(弦长)比曲线长度(弧长)要短。但对于无限短的曲线，弧长和弦长是相等的(画图思考)。则

解答：质点在至()时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示,其中路程＝PP′, 位移大小,而表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当 时,点P′无限趋近P点,则有,但却不等于

• 质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为,至()时间内的位移为, 路程为, 位矢大小的变化量为( 或称),平均速度为,平均速率为 ． 根据上述情况,则必有

解答：由于,故,即．由于,故,即,亦即瞬时速度的大小等于瞬时速率。

• 一运动质点在某瞬时的位矢为，对其速度的大小为
  • (1) ；
  • (2) ；
  • (3) ；
  • (4) .

上述判断正确的是

解答：表示质点到坐标原点的距离(半径)随时间的变化率,叫径向速率，它只是速度矢量在径向的分量；和等价；在自然坐标系中速度大小可用计算，在直角坐标系中，，故.

• 曲线运动中，加速度经常按切向和法向进行分解：借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) ，
  (2) ，
  在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) ，
  (4) ，
  变速圆周运动的质点，
  (5) ，。
  (6) ，不就是高中学过的向心加速度嘛。
  上述判断正确的为

解答：(2)(3)(6)

• 质点作曲线运动，对下列表述中，

• (1)；

• (2)；

• (3)；

• (4)．

  正确的是(　　)

解答：，故而。表示切向加速度，它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度方向的一个分量，起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率，比如变速圆周运动中，总等于零，但；(3)是自然坐标系中速率的计算公式；表示加速度的大小，表示切向加速度的大小，在匀速率圆周运动中，前者总不为零而后者总为零，不应该混淆。

• 一个质点在做圆周运动时,则
  • 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
  • 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
  • 切向加速度可能不变,法向加速度不变
  • 切向加速度一定改变,法向加速度不变

解答：加速度的切向分量起改变速度大小的作用,而法向分量起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时,恒为零；质点作匀变速率圆周运动时,为一不为零的恒量,当改变时,质点则作一般的变速率圆周运动

• 物体作斜抛运动，初速度大小为，且速度方向与水平前方夹角为，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：曲线运动中，法向加速度为(其中是曲率半径)，故，其中为“轨道最高点处”的法向加速度，应为(此时切向加速度为零)，速度.

• 法向加速度和切向加速度的核心公式是需要记忆的：和。质点沿半径为的圆周运动，其角位移随时间的变化规律是。在 时，它的法向加速度和切向加速度分别为()

解答：圆周运动中，, . 关键是求出. 已知: .

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• 质点P在水平面内沿一半径为的圆轨道转动。转动的角速度与时间t的函数关系为 (k为常量)。已知 时，质点P的速度值为 。试求 时，质点P加速度的大小为()

解答：圆周运动中，, . 加速度的大小为. 关键是求出. 由于，知. 因此

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• 质点在 平面内运动，其运动方程为．则在 时切向和法向加速度分别为()

解答：曲线运动中，(其中是曲率半径，未知，所以无法直接求解), (可由算出，从而得到). 加速度的大小的公式有两个，或。本题中，由于已知，我们可借助第二个公式算出。最后有。具体地，，. 于是，. . 于是 .

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