【组合数学】非齐次递推关系与编程

现在有一个问题：

我们想得到一个复杂运算的通式。

所谓通式就是类似 result = F(x) 的形式，只要我们给出输入 x，就可以利用通式得出计算结果。

有人会问这不是很简单吗？我们不就是这样解决问题的吗？

其实大多数情况下，我们可以这样解决问题。因为我们没有遇到复杂的问题，所以没有想过对应的解决办法。现在给出一个例子：

错排问题：

某网站收集了n个用户的个人信息。每个人手里有一张优惠券，现在网站搞混合抽奖，两两交换优惠券信息。最终每个人都获得了一张新的优惠券！

其实就是一个优惠券换优惠券的活动。

问题是：一共有多少种分配方案？

可以看到这道题有几个要点：

1、每个人获得的新优惠券不能还是原来自己的。

2、每个人都与其他人进行了交换，但多少次不管。且优惠券无重复。

我们没办法一下子写出通式来，即给我一个用户数量n，我就可以告诉你有几种分配方案。

而只能写出类似 An = A(n-1)+A(n+2)的递推表达式。（当然不是这个，这是斐波那契递推关系式）

那有人问，我就利用递推公式求出来不就好了吗？但你知道在计算机里递推用到的是“栈”，资源开销很大，在不知道复杂度的情况下，容易造成事故。

而如果我们用简单的加减乘除就能解决这个运算问题是不是节省了很多内存资源呢？

好戏就要上演了。

步骤：

1、换一种思想，既然用到递推，我们就设Dn代表n个用户有Dn个解决方案。

Dn就是我们最终要求的数。

2、类似的，D（n-1）代表n-1个用户的方案数。

我们不知道D（n-1）到底是多少，但是我们可以利用它。

①现在假定n-1个用户对应的方案数D(n-1)我们已经求出来了。

那第n个用户来了，他也要参加抽奖。我们想一想他跟谁交换优惠券呢？

对了，和任何人都行！因为n-1个人已经错排好了，而n现在和他们任何人交换，n拿的都不是自己的；拿到n手中优惠券的人也拿的不是自己的。所以这n个人就错排好了。

（结果：D(n-1)*（n-1））            （前一个(n-1)是下标，别搞混了。）

有人说这不是忽悠我吗？n-1个人的方案数还没告诉我呢。

先接着往下看。

②假设n个人都没交换呢，现在先让第n个人（对这个人比较特殊，他先交换）和n-1里的任意一个人交换。好了，我们就先不动他俩了。剩下还有n-2个人等待被交换，不管，先记做D(n-2)。这n个人也都被交换好了。

（结果：（n-1）*D(n-2)     ）

综合①、②得出  n个人的交换方案：

D(n) = （n-1）*D(n-1) + （n-1）*D(n-2)    两个结果相加就得到了。

会有人疑惑这两种情况涵盖所有了吗？

我们来想一想，这其实是把问题分成了两类：

第n个人要么是在其他人交换完之后再交换，要么先交换。这两种情况都保证了第n个人得到了原不属于自己的优惠券。

那同理，第n-1个人也是这么分的……第1个人也是这么分的（只不过其他人数是0而已，共交换0次哈哈）

所以我们得到的递推公式是正确的！

D(n) = （n-1）*D(n-1) + （n-1）*D(n-2)                             ①

3、下面跟着我的步骤一步步化简。

式①可以写成：

D(n)  - nD(n-1) = - [ D(n-1) - （n-1）*D(n-2) ]

=……

= （-1）^(n-1) * （D1 - D0）

更清楚的推导看下图：

再往下↓

简化后的结果↓

经过一番推导，我们得出了“给定用户数n，求交换方案数Dn”的通式！

虽然结果比较复杂（大多数是这样），但其中原理着实让人着迷。

结语：

其实并不是所有的递推关系都能得到一个通式：对于“线性常系数齐次递推关系”可以百分百求出其通式，就像斐波那契数一样；而对于“线性常系数非齐次递推关系”要看具体情况。

感兴趣的可以去wiki查这些关键词，或者看清华大学的视频教程。

地址在这：http://pan.baidu.com/s/1bpj4PMB