引子：远古的夜晚，没有电视、电影，人们怎么消磨寂寞时光？抬头，大片璀璨的星空就是环形大屏幕的电视秀！夕阳余辉散尽，夜幕渐次拉开，星星点点的背景渐渐显现，裹挟着横亘夜空中央的银河缓缓滑动，精彩的流光之舞开始上演。太阳系的一家之主平日里一脸严肃，把大伙吓得不敢露脸。此时他忙了一白天、退到后台休息去了，小孩子们松了口气，纷纷拉着月亮妈妈开起了舞会，两个小女儿最调皮，她们打扮得光彩照人，时而露个鬼脸、时而串到幕后；英俊的红脸男孩快步跑着，梦想当一个能征善战的武士；老大则缓缓挪动着脚步，巡视着家里的每一个角落，时而停下来回头看看。九天之下，一群智慧之人，拿起直尺、圆规，也开起了舞会，他们灵巧的双手之下，各个主角轮番上演，居然也和天上的舞者配合得默契自如、天衣无缝。他们是谁？为什么开一个和天上一样的舞会？”
又到了每周固定的时间，学生来到餐厅，发现老师已经坐在靠窗桌旁了。
学生赶快走过去在对面坐下，定睛一看原来老师在摆弄一台模型。老师十分专注，没有看到学生。模型中间是一个金属质地的大球，几个颜色、大小不同的小球环绕着大球，大球和小球位于同一高度，每个小球由一个金属杆支撑着。
学生好奇地问：“这是什么玩意？”
“你猜猜看”，老师一边说，一边旋转一个金属杆，周围的小球同时绕着大球运动，越靠近中间的小球转得越快，越远的小球转得越慢，而中间大球不动。
“好，我看一看这里有什么名堂。中间这个球很大，周围的球绕着它旋转，有一个蓝色的小球，还有一个红色的小球，还有这个球上有很多光环... 哇！原来是太阳系模型？” 学生惊讶地说道。
“对，你猜对了”，老师说道，“看到这颗蓝色的星球了吗？”
“是地球，它旁边还有一个小球绕着地球旋转，肯定是月亮了！” 学生说道。
“对。你再看看其它的行星，它们转得比地球快还是慢？”
“嗯，里面这颗水星转得最快，地球转一圈，水星转了差不多4圈。金星也转的很快。这颗红色行星应该是火星，转的比地球慢一倍左右，外面的土星、木星转的就更慢了！”
“对。”
“老师，怎么刚好设计得这么准呢？” 学生不解地问道。
“你猜猜看，提醒你一下”。老师用手指了指。
“哦，这些齿轮！我一开始就注意到了。”
“每个齿都是三角形，相邻齿轮上的齿大小相等，所以可以紧密啮合在一起。当一个齿轮转动时，会带动相邻的齿轮转动。直径大的齿轮转一圈花的时间更久。”
“这有什么用呢？”
“齿轮数与公转的角速度成反比，或者说齿轮数与公转周期成正比。”
“能举个例子吗？”
“比如有一个齿轮有40个齿，另一个齿轮有20个齿，两个齿轮啮合在一起后，当40齿的齿轮转了1圈，20齿的齿轮刚好转了2圈。”
“嗯，同意。”
“我们把地球公转一圈的一年作为参考，那么水星公转一圈是87.97天，也就是0.2409年，也就是说水星和地球的两个齿轮比应该是0.2409。如果 找到两个齿轮的齿数比值刚好是0.2409，那么就可以模拟地球和水星的位置变化了。”
“可是两个齿轮的齿数只能是整数。”
“对，所以要用整数之比来近似小数，你知道怎么做了吧？” 老师问道。
“哈！这不就是连分数大显身手的时候吗？！”
“对！水星的周期和地球的周期比值是0.2409， 约等于1/4，但这样不太精确。我们还是做连分数展开，得到它的渐进分数是：
“例如我们选择13/54的齿轮比，既不需要太多的齿轮数，精度也比较好。” 老师说道。
“那火星呢？” 学生问道。
“如果是火星，我们就要选择大于1的齿轮比了，因为火星的公转周期几乎是地球的2倍，确切地说是1.8809倍。记得吗？以前我们还用连分数展开计算过火星大冲。”
“嗯，我记得。没想到连分数还可以用来做太阳系模型。很早以前就有人这么做了吗？”
“是的，早在惠更斯的时代，就已经有了。你还记得惠更斯吧？”
“记得，他是十七世纪荷兰的物理学家、天文学家、数学家，提出了著名的钟摆摆动周期的公式。” 学生说道。
“没错，可惠更斯的成就远不止于此。他还创立的光的波动说，提出了惠更斯原理。他和胡克共同测定了温度表的冰点和沸点，他还用自制的望远镜发现了土星的卫星和土星上的光环。”
“这么说，他那时就系统研究过太阳系的行星和他们的周期？” 学生问道。
“对。惠更斯想做一个以太阳为中心的太阳系的机械模型来演示各个行星的运动，那时日心说已经被接受， 所以他把太阳放在中心不动，其它行星用齿轮驱动旋转，就和我手头这个差不多。比如土星，那时测量到的土星公转周期是29.43年，他需要制作两个齿轮，齿轮数分别是P和Q，让P/Q近似等于29.43。如何确定P和Q这两个整数的数值呢？既然P/Q这个数值比较大，为了让P不至于太大以至于很难去制作齿轮，所以要尽量找比较小的P和Q的数值。把29.43做连分数展开后可以得到：[29; 2, 3, 14]，也就是：
它的渐进分数是：
“可以看出如果用206和7，刚好得到一个很精确的数值来近似模拟土星和地球公转周期。” 老师说道。
学生看了一眼巨大的木星说：“那木星这个大家伙呢？它的周期是多少？我来摆弄一下。” 学生转动模型，发现木星转一圈，地球大约转了12圈。
“对，木星的周期是将近12年，确切地说是11.86年，在古代人们曾以为木星的周期刚好是12年，所以又把木星称为岁星。”
“为什么叫岁星呢？”
“12年在中国是一个非常特殊的数字，它正好是一个地支的循环，你出生时木星位于轨道上的某一点，当木星再次回到这一点时，就是你的本命年了。”
“有意思，那也就是说地球转了将近12圈，木星才转一圈。” 学生说道。
“对，你看这和我们机械钟表的分针和时针很相似，是不是？分针转得比时针快12倍。如果把分针的末端比作地球，而时针的末端比作木星，那么分针转12圈，时针刚好转过一圈！”
“那这个太阳系模型能演示日食和月食吗？” 学生问到。
“不能，这个模型太简单了。”
“我记得，日食和月食只可能发生在朔日（初一）和望日（十五），是吗？”
“是的，只有初一和十五、十六地球、月球和太阳刚好在一个平面上。所以这一次日食（月食）和下一次日食（月食）的间隔一定是整数倍个朔望月。这是形成日食月食的其中一个关键条件，但还不是充分条件，只有当三者处于同一条直线上才能发生日食或月食。”
“那其它的关键条件是什么呢？”
“与黄道面和白道面的夹角有关，这两个平面并不重合，而是有一个夹角。”
“我忘记什么是黄道面和白道面了，你能解释一下吗？”
“好的。太阳在天空走过的轨迹，叫黄道，它的截面叫黄道面。类似地，月球在天空走过的轨迹叫白道，形成的截面叫白道面。还记得我们用半个西瓜解释冬至夏至的那个例子吗？切西瓜后形成了一个截面，截面的边缘是一道弧线，就是太阳划过天空的痕迹，叫黄道。” ( 《时间之问》第4周B 怎么用半个西瓜解释冬至夏至、春分秋分？ )
“为什么黄道面和白道面之间有个夹角？如果没有这个夹角会怎么样呢？”
“这个夹角取决于太阳系最初形成时的旋转角动量、以及月球形成时的角动量，这个角度在月球形成后一直在变化，目前是5.3度。如果黄道面和白道面重合，地球的公转轨道和月球的绕地轨道始终在一个平面上，那么每个朔望月的十五，地球都会把太阳光挡住而发生月食，而每个月初一月球都会挡住太阳光而发生日食。而实际上日食和月食并没有那么频繁，就是因为这个夹角的存在，光线没有被地球或月亮挡住。”
“我想想”，学生看了看这个太阳系仪，点了点头说，“这看似不大的5.3度的夹角，却导致了很大的不同。”
“对，由于有这个夹角，黄道面和白道面有且只有两个交点（一个叫上行节点，另一个叫下行节点），月亮每两次经过其中一个交点所需的时间就是一个交点月（27.21222天）。”
“交点月？听起来很熟悉！是不是祖冲之测量过、并且还和戴法兴辩论的交点月？”
“对，正是。祖冲之测量的结果和现代测量的误差只有1秒。” （ 《时间之问》第6周B 祖冲之：翩翩才俊还是山羊胡老头？ ）
“交点月对于日食、月食的发生有什么意义？”
“只有在黄道面和白道面的交点，月亮才有可能挡住地球或者反过来地球挡住月亮。也就是说，如果这一次日食、月食发生在某个时刻，那么一定是等到下一次月亮运行到交点，才有可能再次发生日食月食。”
“这个发生蚀的另一个必要条件？”
“对，所以两次蚀之间的间隔一定是交点月的整数倍。”
“但是我们刚才说到，两次蚀之间的间隔又必须是整数倍个朔望月，是吗？”
“是的。只有在交点附近，并且刚好是十五，才有可能发生月食；只有在交点附近并且刚好是初一，才有可能发生日食。”
“那到底该怎么计算两次蚀之间的间隔呢？”
“要计算日食月食的周期，必须同时考虑朔望月的长度和交点月的长度，缺一不可。”
“可是交点月和朔望月的长度并不相等，而且也不是整数倍关系。”
“没错，所以要想让两个条件同时满足，那只有找到两者的最小公倍数，也就是说要看一看多少个整数朔望月刚好等于多少个整数交点月，就像我们找地球和水星之间的齿轮比一样，地球的13年对应于水星的54年。”
“我有点明白了，经过这样一个大周期之后，会怎么样呢？”
“你猜猜看。” 老师说道。
“好的，我想想。既然这么一个大周期既是朔望月的整数倍，又是交点月的整数倍，那么这么一个大周期后，日、地、月的相对位置又重新开始了，那么日食月食就又重复发生了。”
“很好，你说的对，确实存在这样一个周期，叫做沙罗周期（Saros Cycle）”。
“怎么计算沙罗周期呢？” 学生问道。
“只要找到朔望月和交点月两者的最小公倍数。”
“但这两个周期的比值不是整数，而是小数，所以最小公倍数无法直接计算得到吧？” 学生问道。
“是的，这时就要用到我们上次讨论的数学知识了！”
“连分数？！” 学生脱口而出。
“Bingo！我们可以先把两个周期的比值展开为连分数，找到足够接近的渐进分数即可。”
“这事已经轻车熟路了。”
老师拿出手机，“我们把交点月和朔望月周期相除27.21222/29.530588=0.92149266，做连分数展开”。老师找到计算连分数的网站，把0.92149266输入进去，然后就得到了连分数的展开后的近似分数。
“223/242=0.9214876. 非常接近实际的比值”，学生说道。
“嗯，也就是说223个朔望月大约等于242个交点月。每经过223个朔望月，地球月球和太阳的相对位置又重复一次，日月食也重复一次。而223个朔望月就是6585.32157 天，也就是18年零11.32天，而242个交点月是6585.35724 天，两者非常接近，相差不到一小时。沙罗周期又称为18年周期。”
“可是沙罗周期并不是完整的天数，有一个讨厌的0.32-0.35天。”
“对，你观察得很仔细。实际上地球上的同一地点看到日食月食再次发生要等到3个沙罗周期才能看到。因为有1/3天的零头，所以每过一个沙罗周期，日食月食并不在地球上的同一地点出现，而是要在地球上相差1/3天（8个小时左右）的地方，也就是相隔8个时区的地方出现。为了每次在地球上同一地方看到日食月食，就要把这1/3变成整数，也就是把沙罗周期再乘以3，就变成了54年多34天之后日食和月食会在同一地点出现，这个由3个沙罗周期组成的更大的周期叫做Exeligmos周期。”
“嗯，考虑得这么周详。这个沙罗周期是古希腊人发现的吗？” 学生说道。
“不是，比古希腊人还要早，是古巴比伦人发现的。”
“为什么叫沙罗周期呢？”
“沙罗的意思是重复。”
“真是难以想象，那么久远的年代人们就认识到了这个规律。有了太阳系模型，我们就知道五大行星过去在天空中的位置，甚至能预测未来它们在天空中的位置。” 学生问道。
“对。这非常重要，因为从地球角度看出去，行星的运行非常没有规律，时快时慢，甚至还会逆行，所以行星planet的意思其实是vagabon d（漫游者）。预测出行星的轨道意义重大。有一幅著名的油画（A Philosopher Lecturing on the Orrery），珍藏在伦敦的德比博物馆里，画的就是在18世纪，人们在太阳系仪旁边学习天文知识的情景。”
“哦，那更早以前，比惠更斯还早的时候，甚至文艺复兴以前也有人做过类似的模型吗？”
“有，甚至在2000多年前的古希腊时期就有！”
“是吗？！” 学生惊讶地问道。
“而且它比惠更斯做得还精密巧妙！”
“有这么神奇，这是怎么回事呢？”
“哦，今天的时间不多了，我们留到下次再聊吧！”
“好的，老师再见！”