2.白拿钱的游戏
为了激发大家的解题欲望和创造性，我们不妨想象这么一个场景。有一位有钱任性的还是个波霸的美女土豪找大家玩游戏，游戏规则如下：
土豪（波霸）给你若干张100元钱，其中有几张会是残破的。
比如这次给你2个亿，然后土豪会宣布这样的命令，找出2亿张100元以内最近的残破人民币。土豪这边有一张表，记录着其中第几张是残破的以作验证。最快找到的幸运儿会得到这200亿和土豪及其闺蜜的香吻。其他人没有奖励也没有惩罚。
看上去这样稳赚不赔的游戏，来玩的人自然是非常多，他们排起的长队跨过山，跨过大海，无惧狂风、不畏暴雨、烈日当做花朵在招手，在严冬中把自己比作傲骨的梅花。这条长龙首尾相连，靠人力证明了地球是圆的，外星人将这条队伍亲切地称为“地球的裤腰带”。
那是一个春天，你终于踏进了土豪家的大门，坐上了游戏桌。那么，什么样的策略能让你脱颖而出？
最笨的办法当然是从第一张开始往上数，灵光一点的办法是从最后一张往前数。
然而，你作为人群中最闪耀的那颗星，已经为这个游戏做了充分的背景调查，你了解到这位名位费殿的美女，小名叫素素。祖上是一位数学传奇——费马。
没错！真相只有一个——残破人民币的分布一定遵守素数分布规律。
这就是天才的直觉。
而且你听说了，但凡还能凑合上网的计算机不到0.3毫秒的时间就可以让你赢完土豪所有的积蓄（2^32张100元），1毫秒的时间可以吃下几亿个这样的土豪。
那么现在，所有的问题只剩下如何写这个程序了。
很容易发现素数分布肯定是越来越稀疏的。那么通过寻找这个稀疏的规律就可以发现素数密度的算法。
假设找到了范围，我们只需要能够判断一个数是不是素数的能力就行了。
世界就是这么充满着惊喜——这两种方法都已经有了
3.素数分布规律
在拿到分布规律之前，我们先可以自行猜想一番。如果中途你写出了这个规律，或者得到了较为精确的猜想，或许你可以查查祖上是否有个叫高斯的男子。
首先我们用笨办法，即试除法，找出一系列素数，我这里用删除线标注出来：
1
2 3
4
5
6
7
8 9 10
11
12
13
14 15 16
17
18 19 20...
把前n个自然数中的素数个数记做An，则A1=0，A2=1, A3=A4=2, A5=A6=3, A7=A8=A9=A10=4, A11=A12=5, A13=A14=A15=A16=6,A17=A18=19=A20=7...
依次类推，持续穷举下去。然后我们用An/n就可以得到素数的密度了
好啦。猜猜看吧
我当初连猜的机会也没有，因为我不小心看到了素数定理。
高斯是这样猜的：
An/n 渐进等于 1/ln n
是的，他猜且猜对了。关于这个定理的证明，受限篇幅，我换个时间再来细细品味它。
有了素数的密度，那么n内的素数个数很好得到了：
n/ln n
关于素数个数，人类还有个更好的估计(实际上还有更好的估计，但这里够了）：
其中Li(x)是
我们需要展开它，方才容易写到程序里：
我们用 n/li(n) 就可以得到素数的密度估计值了
我们已经知道n/li(n)为素数密度，也就大致意味着每隔n/li(n)会出现一个素数。
那么我们不妨用n - n/li(n) 作为第一次猜测。
当然，这个数还需要一定的处理，因为它并不是自然数。最直接的思路，是四舍五入它，然后转换成整数。
如果n特别大，最好先对n/li(n)做整数处理。关于这一点，大家自己想想看为什么吧。
4.验证一个数是否为素数
现在我们已经得到了关于最大素数的第一个猜想值，现在我们需要知道如何验证一个数是不是素数。
莫非也有一个简单明了的公式？
是的，我们接近有这么一个公式。
这个定理描述如下：
如果p是任意一个不能整除整数a的素数，那么
（不知道为什么，每次输入“费马小定理”，我脑海中浮现的都是“麻辣小龙虾”）
许多人看到这个公式的第一反应便是，哎呀妈呀，太好了，这下判断素数太简单了。
只需求证p被a的p-1次方除时余数是不是等于1就好了，如果是，那么p是素数。
还有些朋友看到这个公式的第一反应是，这等于号（两横线）它哥（三横线）是什么玩意？这个mod又是什么东西？这些朋友请仔细看上面一句话，你就能明白这两个符号的意思了。三横线代表两边的数字除以p，余数是相等的，在这里余数都为1。
(关于费马小定理、欧拉函数请点击这里费马和欧拉）
还有些朋友性子比较急，已经开始拿起这个定理写素数判定程序了。他们一般这样写：
a取2，p为待证明素数。
一个个算下去，很快就来到了341这个“素数”。然而341=11*31。这是怎么回事？
这就好比，人都有嘴，但不能100%肯定有嘴的就是人一样，垃圾桶也有嘴。费马小定理只是说，p是任意一个不能整除整数a的素数，则有那样的性质。而不是说通过这个公式可以推断出p是素数，有可能并不是素数。
实际上存在这样一些合数，对于所有跟p互质的整数a，都满足费马小定理。这样的合数人类称它为开迈克尔数。
对于足够大的n，1-n内卡迈克尔数至少有：
n的2/7次方个
看来这种判定方法的错误率有点太高了。在题目范围内，即2的32次方内（4294967296），差不多有560多个开迈克尔数（实际上并不止这么一点）。
看来，我刚才骗人了，我说有这么一个公式，结果如此不精确，然并卵。
如果注意看的话，我刚才说到我们接近有这么一个公式。这句话背后的意思便是，人类有办法提高素数判定的精确度，这个提高的办法依然基于这个“不可靠”的费马小定理的逆命题。
5.提高素数判定的精确度
让我们把费马小定理再请出来围观一下：
要理解一个新事物，需要我们将它与原有的知识联系起来。那么我们一起看看，如何把费马小定理转化成我们熟悉的形式。
我们将1移到左边，得到：
这个形式看上去有没有熟悉一点？（关于为什么可以移动，大家可以自己推出来，我接下来的文章也会讲一讲）。保持这个模糊的熟悉感，我们继续。
令p-1=（2^i）*b (b为一奇数，因为p是一个不能整除整数a的素数，p肯定是一个奇数，因此p-1为一偶数)：
同余符号两边持续开方，直到：
即：
这是我们熟悉的x的平方减1的形式
在这里，令c=a^b,同时我们保持c为小于p的整数。则c+1=p,或c-1=0。
所以有：
即：
这个式子说明，由费马小定理我可以得到这样的推论：
即对a的指数p-1不断提取2这个因子，直到和p-1是模p是同余的，如果与1同余，则继续提取2这个因子，直到2被提取完，最后与p-1或1是模p同余的
通过这个推论，我们可以对p进行更强的素数检测。当然，依然不能100%肯定通过这个检测的即为素数，我们只是把概率提高了一点。就像把有嘴的都是人上升到会抽烟的都是人（实际上还有会抽烟的动物），概率大大提高。
这种素数检测被称为 Miller-Rabin 测试。能通过Miller-Rabin测试的合数，我们称之为强伪素数。当a=2时，第一个强伪素数是2047。当同时检测a=2和a=3时，第一个强伪素数为1373653。我们可以发现，比单纯的费马检测要强有力的多。
6.算不出来的幂运算和求余
有了上面的基础，我们明白可以使用类似这样的代码来计算余数：
(modulo (expt a (- p 1)) p)
同时我们知道， Miller-Rabin 测试要经历多次类似这样的模运算，如果p很大的话，计算机可要吃不消喽。
看来我之前又骗大家了，我说一台勉强可以用的电脑都可以在1毫秒内得到结果。
最直接减少运算量的尝试就是减少Miller-Rabin测试的次数，也就是少用一点a。
好消息是，对于2^32这么小的数来说，a取2，3，61就够了。大家可以试一下如下运算：
(modulo (expt 61 4294967295) 4294967296)
大家的机器算了多久呢？时间就是金钱，虽然我的时间很便宜，但大家的青春是无价的。我先给大家一个心理预期，就是算这个余数的时间应该控制在0.02毫秒附近。
有人会说了，租个超级计算机来计算，反正能赢土豪的钱，接下来什么都有了。但是，现实当中，我们只是算个素数啊。清醒吧，少年。。
先不写了，容我把昨晚的剩饭热热。说实话，干这活真不挣钱。
7.很容易算的模运算
我们已经知道，对素数做测试最后一步一定是求余数，这是除法。除法本身就比较慢，何况这么大的数。之前的极大数冥运算也不是善茬。
为了找到解决问题的启发，我们回过头再看看之前的成果。
我们在为了得到Miller-Rabin算法的时候，一直在对同余符号两边开方，以得到“底层”的余数。那么反过来，我们可不可以通过对“底层”不断平方得到“上层”的结果？
如果可行，那真是毫无计算量啊。要知道，最“底层”的计算仅仅是一次方。
可是刚才，我们可是花了一点脑力才把指数下降到1，现在再升回去，岂不是在做无用功？
我们先从最基础的a的p-1次方开始一点点看：
因为两边是同一个数，所以两边不管模什么数，肯定是同余的，因此：
看上去好像没什么用，因为如果我们把每一个a都去求除以p的余数，因为a对于一个大数p来说，余数肯定还是a。最后的结果还是直接用a的p-1次方去做除法。哪怕是通过这条式子，我们联想到用尾递归去做乘法，减少内存开销，但最后依然避免不了大数除法带来的痛苦。
因此我们得继续变，这个变换为了减少计算量，需要尽量满足如下三个条件：
a.减少乘数的个数
b.乘数的每一除以p的余数与上一项有规律可寻，而且这个规律要足够简单，对于任意相邻两项都生效
c.尽量避免大数的除法
通过第二点，可以利用自然归纳法的思想，依次推到出所有乘数。这些乘数取得余数后相乘的结果再取余数得到最终结果。
那么，一个较大数的取余就转换成了计算第一个小数的余数，再依次计算接下来小数的余数（这个接下来的小数由之前一个余数得到）。听上去没有什么计算量了。
这个变换的结果会有如下的形式：
一上来就分析 b、c 这两个条件，似乎很难有突破。但是a条件，看上去不太可能实现啊。凭什么乘数就无端消失了。我们先不去想为什么a会没有，因为这个想通了，办法就唾手可得了。
我们先来看看，什么情况下可以省去一个a的?次方。
答案是 ? = 0
大家先别打我。 ？= 0。如果有这样的好事，那还算毛线啊。我的回答是，是的啊，很多时候，就是毛线都没计算，所以才那么快！
那么我们可以得到关于 ？ 的一个式子：
现在问题已经被转换成p-1由一组0和其他数字的和构成了，那么这里的0是怎么得到的呢？
我们回到等式的左边，可以将p-1(一个n位数）构造为：
即：
这几乎就是我们想要的形式了，因为a是0-9的整数，也就是说我们已经构造出想要的0了。
但是，似乎我们给a的自由空间太大了一点0-9的选择太多了，而且它们作为a的指数还是太大了一点。我们应该对a的生存空间往最小了压缩，就像我们对待计算机一样，指给它0或1 。
于是我们得到：
我们再来看看我们想要达到的三个原则：
a.减少乘数的个数 （完成，出现很多1）
b.乘数的每一除以p的余数与上一项有规律可寻，而且这个规律要足够简单，对于任意相邻两项都生效 （完成，下一项为上一项系数不为0时的平方）
c.尽量避免大数的除法（每一次取余数时，值都很小。最终需要求余的数值为各项a不等于0时的余数的乘积）
我这里举个例子，刚才的
(modulo (expt 61 4294967295) 4294967296)
通过以上一系列运算，最终将会转换为求：
(modulo 3238827797 4294967296)
这个简直不用算，因为3238827797比4294967296小，因此余数为3238827797
这个算法叫Montgomery算法。或许我不应该告诉你？因为你靠自己已经推算出来了。
8.写出这个程序
8.1 求有多少个素数
根据li(n)的展开式，我们可以写出如下代码：
8.2 得到第一个猜想值
8.3 计算余数
刚才我们已经知道，要把指数转成2进制数。然后要搞清楚有多少位数，取完之后输出结果。这个结果是由所有系数为1的数的余数的乘积后取余数得到。其中相邻两项的余数构成平方关系。
听上去这个程序就不太好写。我们一步步来吧。
首先把指数转成2进制。我这里拿10进制数9举个例子：
9的二进制表达是1001
好了，我们已经拿到办法了。那就是对指数不停的除2取余数，取商数。直到商数为0为止，而这里的余数（0或者1）就是各项指数的系数。
除了商数和最终的待求余数的值，我们还要循环的是每一个前一项的余数。因为通过前一项的余数的平方我们直接得到了现在位置上的余数。
确认以上三点，写出程序就不难了：
其中a为底数，n为指数，即p-1，mod_n即为p（待确定“素数”）其实这里也可以只有两个变量，影响不大，看个人喜好了
我们首先求得第一项的余数 即a1，为接下来的循环做准备。n0为商数，作为停止程序运行的标志。n01为余数，作为判断是否将要将求得的值乘入at_last(最终要取余数的结果）当中。
8.4 Miller-Rabin测试
文章有些长，看到这里，大家可能已经有点淡忘这个测试的方法了。可以先去回顾一下，再继续看代码
还是先看看输入变量是什么，要迭代循环的量又是什么。
这个情况比sexy_mod要简单一些。输入就是底数a和待求素数p这两个变量。迭代的是指数p-1
首先要判断初始情况是否余数为1，然后开始循环。这其中要在余数为p-1时跳出程序直接返回#t。如果为1则继续循环直到指数为奇数，再对其求余看看是不是等于1或者p-1
如果不是以上的情况，要能直接跳出结果，即#f
想清楚了，代码也是很好写的：
8.5 利用测试的有效范围
刚才讲到以2为底的费马检测到341就不行了，以2，7，61为底对付这道题就就够了。如果想进一步减少运算量，也可以列出一些素数让待确认的数去除这些素数，如果除的尽就肯定不是素数了，也就没有必要进入miller-rabin测试了。
因此代码可以这样写：
8.6 向上取素数
直接猜就得到结果的可能性不是没有，但起码不是100%
它可能偏小，也可能偏大。如果比实际值要小，那么我们事先还不如不判断它是不是素数为好，减少一次计算。等到上面的值都不是素数，再看看猜的是不是，如果猜的也不是，就向下检测，向下检测比较简单，第一个得到的素数就是答案了。
在这里我们先看如何向上取素数。
首先我们要得到first_guess作为基准，其次拿n-1作为上限。因为n是否为素数的情况我们可以直接在主程序里判断。也就是说我们需要两个值的迭代，一个是现在的数值，另一个是现在的最大素数
那么，程序就像花朵的芬芳一样扑面而来了：
8.7 向下取素数
刚才已经讲了向下取的原则，代码也特别简单：
8.8 Max Prime
先判断输入是不是素数，是的话输出，不是的话下一步。在根据first_guess向上取素数，如果取完还是first_guess则看看first_guess是不是素数。这些都不是就调用minus_test。
8.9 测速
在这个max_prime程序中，其测试精确范围内程序运行时间稳定在在0.3毫秒左右。
如果想提高精确度，加几个底数就行了，也就是增加了几个毫秒级别的运算而已。
比如我选择2，3，5，7，11，13，17，19，23作为底数，可以准确检测3825123056546413051（380多亿亿）以下的数字。耗时1毫秒。
关于在多少范围内选取底数，大家可以参考维基百科Miller–Rabin primality test这个条目。
在racket里测速(runtime)的代码可以这样写,这里的单位是毫秒：
9 新的思索
这位美女不仅仅是土豪那么简单，她很快发现了你赢钱的秘密。于是——她要嫁给你。
然后你们一起躺在床上，你一边面露坚毅的眼神，一边缓缓道来，如何提升素数判定精度，如何推倒出冥的模运算，如何。。。
美女都挺尸了，噢不，听湿了
30秒后。。。
你已经做完了和美女在床上应该做的事情，现在，你又投入了新的思索。你顺手把电脑打开，将美女凉在一边。
我觉得作为一名码农，我们和农民有两点区别：
没有农民力气大
码农巴不得整天捧着电脑——这个他干活的工具。而农民不会整天抱着锄头跑