P2568 GCD

看到这是一道紫题还是和gcd有关的才点进来(毕竟数论只会gcd).

• 前置芝士

  1.质数(又称素数):因数只有1和本身,但是很特殊的1不是一个质数.
  2.gcd:欧几里得算法,又称辗转相除法,可以在约为O(LogN)的时间复杂度内求出两个数的最大公约数(N为两个数中大的那个数,在两数为相邻的斐波那契数时最慢,具体不证明其实就是我不会).
  3.欧拉函数**:一个非常基本的数论函数,是一个积性函数(虽然本题并没有考到),欧拉函数可以表示为\(\varphi(x)\),表示小于x的自然数中与x互质的数的个数(具体求法下文会讲到).

• 推导公式

  很明显,直接暴力需要O(N^2)的时间发咋读但是N有1e7肯定是会T的,所以需要从gcd(a,b)为一个质数入手.
  当\(gcd(a,b)==1\)时不难发现\(gcd(a*p,b*p)==p\)(p为任何自然数时都成立),于是乎可以先把0~N中的素数筛出来.
  那么下面要怎么知道一个素数可以产生几对符合条件的a,b呢?
  可以发现\(max(a,b)*p\leq N\Rightarrow max(a,b)\leq \dfrac {N}{p}\)因为a,b都为整数,所以\(max(a,b)\leq \lfloor\dfrac {N}{p}\rfloor\),于是就要知道小于p的互质的数对的个数了,拿出前置芝士中的欧拉函数,于是小于p的数的对数\(=2*\sum ^{\tiny\lfloor\dfrac {N}{p}\rfloor}_{i=1}\varphi \left( i\right)\)(因为如(1,2)和(2,1)同时成立,所以需要乘2),每次都要求自然还是会T,所以需要用到前缀和优化一下.

• 具体做法

  欧拉函数的具体实现:(本人太菜,只会用埃氏筛)
  对于x不是质数\(\varphi(x)=x*\prod ^{n}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})\)(其中\(p_{i}\)为为x质因数,n为x的质因数的个数)
  x为质数时\(\varphi(x)=x-1\),其中十分特殊的\(\varphi(1)=1\).
  这样可以直接套入埃氏筛中将所有\(1\leq x\leq N\)的\(\varphi(x)\)求出,再用一个sum数组统计起来.
  如果还不是很了解可以康康例题.

• 代码

#include
#define rap(i,first,last) for(int i=first;i<=last;++i)
using namespace std;
const int maxN=1e7+5;
int N;
double phi[maxN];
bool boo[maxN];
long long sum[maxN];//注意开long long
int main()
{
    scanf("%d",&N);
    rap(i,1,N)
    {
        boo[i]=1;
        phi[i]=i;//先赋值为i方便处理
    }
    boo[1]=0;//不是质数
    rap(i,2,N)//埃氏筛的部分
    if(boo[i])
    {
        phi[i]=i-1;
        rap(j,2,N/i)
        {
            boo[i*j]=0;
            phi[i*j]*=1.0-1.0/i;//求出欧拉函数的值
        }
    }
    sum[1]=1;//1时因为只有(1,1)所以不用乘二
    rap(i,2,N)
    sum[i]=sum[i-1]+1ll*((int)phi[i])*2;//用前缀和优化
    long long answer=0;//注意long long
    rap(i,2,N)
    if(boo[i])answer+=sum[N/i];//把每个质数所带来的(a,b)全部相加
    printf("%lld",answer);//输出answer
    return 0;
}

数论题的题解好难写