9.11 状态矩阵 与 dp

大一以来有两门课程学了矩阵：离散数学的二元关系一章的关系矩阵 和 线性代数中的矩阵

矩阵是一种特别方便的数学工具，线性代数中，它可以用来解线性方程组 ，而离散数学中，他可以描述一个由 二元关系的集合（可以看成是有向图） 所构成的状态；

 

而dp解决的是通过状态之间转移寻找最优解的问题。

所以当一个dp的状态由很多子状态构成 及 dp状态之间的转移较复杂 时，可以尝试用 关系矩阵 这个工具去描述它；

状态之间的转移，则用矩阵乘法去实现。

 

关于用矩阵乘法实现状态之间的转移，离散数学中有证明（关系矩阵的幂次，二元关系的复合），这里简单的说一下：

矩阵乘法的定义是这样的

 

 在关系矩阵中则可以表示两个二元关系的复合，为什么呢?

二元关系可以用有向图表示，用两个有向图 f ,g 复合为一个新的有向图 f * g，假设新的图中有一条边i -> j，则它是有f中的一条边i->k ，和 g 中的一条边 k->j通过一个中间节点k连接而成，而 矩阵乘法 恰好完成了枚举中间节点k这个过程，如下图