堆与哈夫曼树与哈夫曼编码

堆

什么是堆

优先队列(Priority Queue):特殊的“队列”，取出元素的顺序是 依照元素的优先权(关键字)大小，而不是元素进入队列的先后顺序

堆的两个特点：

数据对象集:完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值

• 任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值

• 用数组表示的完全二叉树;

  
  
  

  heap.png

heapDemo.png

最大堆的操作

最大堆的插入

核心操作是插到最后一个叶节点后面 相应和父节点比较 交换位置 直到没有父节点大 或者到达哨兵的位置

insertHeap.png

最大堆的删除

核心操作是删除根节点，把最后一个叶节点移到根结点位置上保证树的结构，然后对堆进行正确的排序，比较根节点和子节点的大小，然后做交换操作，直到成为最大堆或者最小堆.

最大堆的建立

建立最大堆:将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1:通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初 始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。

方法2:在线性时间复杂度下建立最大堆。

• 将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
• 调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性。 从下面依次往上面建立最大堆或者最小堆。。

哈夫曼树与哈夫曼编码

什么是哈夫曼树

huffmanTree.png

哈夫曼树的构造

每次把权值最小的两棵二叉树合并

哈夫曼树的特点:

• 没有度为1的结点;
• n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点;
• 哈夫曼树的任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树;
• 对同一组权值{w1 ,w2 , ...... , wn}，存在不同构的两棵哈夫曼树

huffmanTree1.png

哈夫曼编码

给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的编码 存储空间最少?

[例] 假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构:a，e，i， s，t，空格(sp)，换行(nl);这7个字符出现的次数不同。如何对 这7个字符进行编码，使得总编码空间最少?

• 用等长ASCII编码:58 ×8 = 464位
• 用等长3位编码:58 ×3 = 174位;
• 不等长编码:出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低 的字符则可以编码长些

进行不等长编码前提就是避免二义性，避免二义性的方法就是

前缀码prefix code:任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀

可以无二义地解码。

哈夫曼编码就是把带权重的结点通过构造哈夫曼树，然后左0右1 ，有效的编码，无二义性，并且具有最短的wpl

Huffman2.png