不等式
考虑模型：
从 \(S\) 到 \(T\) 有两条除了起点和重点不相交的路径：\(S\to a\to b\to T\) 和 \(S\to c\to d\to T\)；
对于 \(x\in(a,b)\) 和 \(y\in(c,d)\)，添加一条边 \((x,y)\)，流量为 \(+\infty\)。
\[ \begin{matrix} a \to &x \to b \\ &\downarrow \tiny{f=+\infty} \\ c \to &y \to d \end{matrix} \]
考虑这个模型上的最小割，假设我们同时割掉 \((c,y)\) 和 \((x,b)\)，此时还存在一条路径 \((a,x,y,d)\)：
- 割掉 \((a,x)\)：那么不割 \((x,b)\) 一定更优；
- 割掉 \((y,d)\)：那么不割 \((c,y)\) 一定更优。
所以 \((x,y,f=\infty)\) 限制了 \((c,y)\) 和 \((x,b)\) 不可同时割去。
一选一不选
给定 \(n\) 个物品，每个物品有 \(x_i\) 的收益（\(x_i\) 可正可负）。再给出 \(m\) 对限制，如果 \(u_i\) 选择，\(v_i\) 不选，则有 \(w_i\) 的损失。求最大收益。
令 \(x_i=1/0\) 表示物品 \(i\) 选或不选。
对于每个限制 \(u,v\)，考虑利用最小割从总收益中减去。
\(\neg(x_u=1\land x_v=0)\iff x_u\not=1\lor x_v\not=0\iff x_u=0\lor(x_u=1\land x_v=1)\)。
由于 \(x_u=0\) 和 \(x_u=x_v=1\) 一定不会同时满足，我们可以将其拆成两个限制，互不影响。
\(x_u=0\)，即 \(u\overset{f=w}{\to}T\)；\(x_u=x_v=0\)，即 \(S\overset{f=w}{\to}i'\overset{f=\infty}{\to}u/v\)。
由于两个限制中至少有一个不满足，至少会减去一个 \(w\)，所以 \(Ans=\sum x_i+\sum w_i-mincut\)。
两个同选
要求构造长度为 \(n\) 的 01 向量 \(a_i\)，最小化 \(\sum a_i(\sum a_jb_{ij}-c_i)\)。\((n\le 500)\)
观察发现，这是一个若干物品选择，若同时选择有额外贡献的模型。
由于有 \(n^2\) 对限制，对每个限制建一个点的做法点数太多，考虑改变。
由于每个限制是两个元素，可以考虑建模：
- \(S\overset{f=x_i}{\to}i\)，\(S\overset{f=x_j}{\to}j\)；
- \(i\overset{f=y_i}{\to}T\)，\(j\overset{f=y_j}{\to}T\)；
- \(i\overset{f=z_{ij}}{\leftrightarrow}j\)；
可得：\[ \displaystyle \begin{cases} x_i+x_j=b_{ii}+b_{jj}+b_{ij}+b_{ji} \\ y_i+y_j=c_i+c_j \\ x_i+z_{ij}+y_j=b_{ii}+b_{ij}+b_{ji}+c_j \\ x_j+z_{ij}+y_i=b_{jj}+b_{ij}+b_{ji}+c_i \end{cases} \]
可凑出一组解：\[ \displaystyle \begin{cases} x_i=b_{ii}+\frac{b_{ij}+b_{ji}}{2} \\ x_j=b_{jj}+\frac{b_{ij}+b_{ji}}{2} \\ y_i=c_i \\ y_j=c_j \\ z_{ij}=\frac{b_{ij}+b_{ji}}{2} \\ \end{cases} \]
这样可以最小割求了。由于分数的存在，可以将所有流量乘 \(2\)，则 \(\displaystyle Ans=\sum b_{ij}-\frac{mincut}{2}\)