【信号与系统】拉普拉斯变换与z变换的收敛域理解

一.收敛域的套路

一直以来我做题的时候，碰到收敛域与系统稳定性的题都是直接利用两个套路，如下图所示分别是拉普拉斯和z变换的套路

《信号与系统》陈后金

《信号与系统》陈后金

简单点来说，我们一直被教育，碰到拉普拉斯变换，假如这是个因果的系统(出题一般也都是出因果的系统)，那么极点在s平面的左半平面，它就稳定。碰到z变换，它是因果的系统，极点在单位圆内，它就稳定。

我用这个套路解题一直到下面这个题时，我突然有了一些对于这个知识点深入一些的理解，它居然没有问你假如这个系统是稳定的，那么就要怎样怎样，它问你收敛域怎样，这个序列才是因果的。一场反套路大戏即将上演òᆺó

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二.反套路

1. 为什么要进行拉普拉斯变换与z变换

我们进行拉普拉斯变换和z变换是因为，一旦一个连续系统不绝对可积，离散系统不绝对可和，那么傅里叶变换就没有办法再将信号从时域转化到频域来进行分析，但是人类的智慧是无穷的(.öˬö.)，你不收敛，好，对于连续的系统我乘一个单边指数衰减函数，对于离散的系统乘一个单边指数衰减序列，主动的让你收敛(๑•̀ㅁ•́ฅ)，分别如下图所示

拉普拉斯变换

z变换

2.因果与非因果

虽说，我可以让一个信号去衰减，但是事情远没有那么简单，请看下图。

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可别忘了，我乘这两个东西，可是单边衰减的，也就是说对于因果的系统(输出不超前与输入，我的理解就是t或k小于零的那部分没什么值嘛，不过这一点有待商榷，望大神指出)它没有问题，因为t或k大于0的那部分乘上去确实是衰减的，起到了让信号收敛的作用。

可是碰到非因果的系统这就不行了啊，负半轴那边越来越大了

（╯‵□′）╯︵┴─┴

看来事情远没有那么简单，还让我慢慢道来。

3.收敛域

终于到咱们的主角出场了，收敛域。

为什么要引入收敛域这个概念呢，其实很简单，请看下图

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同样是乘以一个e的负4次方t,对于上面两个函数的最终效果是完全不同的，e的—4t可以让e的3t收敛，却不能让e的5t收敛。

怎么办・_・?规定一个范围呗！规定乘上的这个因子e的—st这个s必须大于5就都收敛了嘛，至于s取多少具体看函数的情况而定。这就是我们要引入收敛域的原因。

至于在离散系统那一边，同理的嘛，只不过z是个复数，我们就描述一下它的模值就好，以下是我的一个手稿，很乱o(´^｀)o，不过关于离散信号为什么是与圆相关的已经写清楚了

手稿

4.解决非因果的问题

好，非因果的系统是挺讨厌的，但是我们还是要想想办法，我们手里拥有的武器就是收敛域。以连续系统为例，如果信号在负半轴有值，那么我就不能任意的让s大下去，因为这样会导致信号在0之前的那部分不收敛，所以我要找到一个微妙的平衡，让0之前和之后的值都收敛，如下图所示

手稿

这也就是，为什么一个系统只有是因果的情况下才能用极点来判断的原因(在套路中描述过极点解题套路)

至于在离散的那一边，道理是一样的，只不过换成了单位圆。

5.解题

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我把这个题再搬出来，这个题问收敛域怎样的时候，它是因果的。先回忆回忆，z是什么

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也就是说z越大，它就越能够让信号大于0的那部分收敛，而让小于0的那部分发散，既然本题是因果的，那么z就可以放肆地大下去，但是也有一个限制条件，这个题里具体就是1/2和2，那么它是大于1/2还是2呢，其实很简单，他要是只大于1/2不大于2的时候，怎么让2反变换出来的那部分收敛嘛！所以这个题选C

三.总结

试题纵有很多，我没有能力覆盖到所有的试题，我想传达的就是一个概念，一种我个人的理解，纵然套路可以让你获取高分，但是道理和观念才是无坚不摧的地方＾０＾~