溺于恐
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高等代数理论基础40：基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

设与是n维线性空间V中两组基,它们有如下关系

\begin{cases}\varepsilon'_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{21}\varepsilon_2+\cdots+a_{n1}\varepsilon_n\\ \varepsilon'_2=a_{12}\varepsilon_1+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{n2}\varepsilon_n\\ \cdots\\ \varepsilon'_n=a_{1n}\varepsilon_1+a_{2n}\varepsilon_2+\cdots+a_{nn}\varepsilon_n\end{cases}

设向量在这两组基下的坐标分别为与,即,

为基向量在第一组基下的坐标,向量线性无关保证方程组系数矩阵的行列式不为零,即系数矩阵可逆

(将基写成矩阵,将坐标写成矩阵)

(\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}​

A称为由基到的过渡矩阵,A可逆

运算规律

设和是V中两个向量组,,则

1.

2.

3.

故\xi=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}​

由基向量的线性无关性

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}​

或\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

上式即为基变换下向量坐标变换公式

例：在n维空间中,为一组基,

为另一组基

故\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ -1&1&0&\cdots&0\\ 0&-1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

即,

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