第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度 —— 以圆周运动为例--by--费世煌

自然坐标系是固定在物体上的坐标系

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数学符号

, , ,

对应的代码为
​$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

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知识点

• 曲线运动的加速度
  • 自然坐标系， ，
  • 匀速率变速圆周运动的加速度，向心加速度 （改变速度的方向）
    • 写成矢量式
  • 直线运动的加速度，切向加速度 (改变速率的大小)
    • 写成矢量式
  • 变速圆周运动的加速度
    • 总可以写成速度的大小乘以方向
    • 时间很小的时候，弦长近似于弧长
    • 是改变运动的速度的加速度
    • 法向加速度是具有方向，是在圆周运动中一定改变的
    • 切向加速度是不一定改变的，因为存在匀速加速运动
    • 一般曲线运动的加速度
    • 曲率圆，曲率半径
    • 曲率半径的直观感受
    • 计算曲率半径

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例题

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• 例1.

  曲线运动中，加速度经常按切向和法向进行分解：

  借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。

  • 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
    (1) ，
    (2) ，

  • 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
    (3) ，
    (4) ，

  • 变速圆周运动的质点，
    (5) ，。
    (6) ， (不就是高中学过的向心加速度嘛)

    上述判断正确的为

解答：(2)、(3)、(6)、

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• 例2.

  一个质点在做圆周运动时,则

  • 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
  • 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
  • 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
  • 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：B

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• 例3.

  物体作斜抛运动，初速度大小为，且速度方向与水平前方夹角为，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：

​

​

​ 又

​ ,则

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• 例4.

  质点在 平面内运动，其运动方程为．则在 时切向和法向加速度分别为( )

解答：

​

​

​ 又，

​ ,且

​ 则

​

​ 又,则

​ 答：切向加速度为，法向加速度为。

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作业

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• 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为．则在 到 时间内的平均速度为

解答：

​ 当时，

​ 位矢为

​ 当时，

​ 位矢为

​ 因为要求平均速度，所以需要求出与之间的位矢差

​

​ 则平均速度

• 设质点的运动学方程为 (式中、皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：

​

​

​ 答：质点的速度为，和速率为。

• 运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
  
  则时刻的速度与速率

解答：

​

​

​ 加速度为。

​ 综上所述：速度为，速率为，加速度为​。