罗德里格斯公式推导

罗德里格斯（Rodrigues）旋转方程

 

此公式有2种形式，故而也有2种推导方法。具体的推导过程如下

 

一、条件

定义向量k是旋转轴的单位矢量，图中初始向量v绕k轴旋转Θ角得v_rot

二、说明

所谓推导旋转方程，实则求出一个旋转矩阵R，使得v_rot=Rv。所以我们要做的就是找出v_rot与v之间的关系，并用矩阵来表示。

三、推导

1. 推导一

对v进行向量分解：　v = v_⊥+ v_//

由点乘的投影几何意义可得： v_// = (v • k)k         (v•k为标量，所以再乘k得到一个矢量)

根据向量减法可得：   v_⊥= v - v_// 

由旋转过程平行向量不变得：  v_{rot //}= v_//

为计算方便，对v_rot⊥进行向量分解：v_rot⊥=a+b

由图中的向量关系经推导可得：b= cosΘ v_⊥      a=sinΘ k x v   (推导在文章末尾）

综上可得：v_rot = v_rot⊥+v_{rot //}

　　　　　　  = a + b + v_//

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ v_⊥ + (v • k)k

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ (v - v_//)+ (v • k)k

　　　　　　  = sinΘ k x v  + cosΘ (v - (v • k)k)+ (v • k)k

　　　　　　  = cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v

显然：到此步，我们还无法将其用矩阵来表示，所以需要对 (v • k)k 和 k x v 进行矩阵转换

由点乘的交换律和结合律得(v • k)k=k •(v • k）=k • (k^τ • v)=k•k^τ•v  ，其中的向量都是列向量

对于k x v可用叉乘矩阵来化简为Kv

 

所以，cosΘ v + (1 - cosΘ )(v • k)k + sinΘ k x v

　　　= cosΘ v + (1 - cosΘ )kk^τv + sinΘKv

　　　=( cosΘ I + (1 - cosΘ )kk^τ + sinΘK ) v　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　　  =Rv

所以，旋转矩阵R=cosΘ I + (1 - cosΘ )kk^τ + sinΘK，其中I为单位矩阵。

 

2.推导二

与推导一相比，推导二的不同主要在于用叉乘去表示一些数据

用叉乘来表示v_⊥可得：v_⊥= -k x (k x v)

所以联立推导一中各式得： v_rot = v_rot⊥+ v_{rot //}

　　　　　　　　　　　　　　= a + b + v_//

　　　　　　　　　　　　　　= sinΘ k x v  + cosΘ v_⊥ + v - v_⊥

　　　　　　　　　　　　　　= sinΘ k x v - cosΘk x (k x v) + v + k x (k x v)

　　　　　　　　　　　　　　= v + (1 - cosΘ)k x (k x v) + sinΘ k x v

　　　　　　　　　　　　　　= v + (1 - cosΘ)K²v + sinΘ Kv     (叉乘矩阵表示)

　　　　　　　　　　　　　　=（I +  (1 - cosΘ)K² + sinΘ K) v

　　　　　　　　　　　　　　=Rv

从而得出第二种表达式R=I +  (1 - cosΘ)K² + sinΘ K

显然，第二种表达式更为简便，在计算的过程中涉及的参数更少，所以这也是在进行旋转操作时常用的公式。

 

关于a和b的推导

a和b是由Vrot⊥正交分解得到的矢量，既有大小又有方向，所以在求解时，我们要对其大小和方向分别求解。
一、b的求解
1.大小
由图得：|b| = cosΘ' |Vrot⊥| ( Θ'为b和Vrot⊥的夹角 ）
又因为|Vrot⊥| = |V⊥| ，Θ'=PI - Θ
所以：|b| = cos（PI - Θ) |V⊥| = （- cosΘ）|V⊥|

2.方向
由b的方向与V⊥方向相反可得
b的单位方向向量为：-V⊥ / |V⊥|
综上可得：b= (-V⊥ / |V⊥| ) |b| = cosΘV⊥

二、a的求解
1.大小
|a| = sinΘ' |Vrot⊥| = sinΘ' |V⊥| = sin(PI-Θ) |V⊥| = sinΘ|V⊥|
= sinΘsinΘ''|V| (Θ''为V和k的夹角）
= sinΘsinΘ''|V| |K| (因为 |K|=1，所以可直接加上）
其中sinΘ''|V| |K| = |K x V|
所以：|a| = sinΘ |K x V|

2.方向
由叉乘方向可得a的单位方向向量为
K x V / |K x V|
综上可得：a=(K x V / |K x V|) sinΘ |K x V| = sinΘ K x V