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Description

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给出长度为 \(n\) 的 01 串 \(S\)，给定 \(k\) 个下标集合 \(A_1,\cdots,A_k\)，保证任意三个集合交集为空。每次操作选择一个集合，翻转 \(S\) 中对应位置。定义 \(m_i\) 为使前 \(i\) 个位置全为 \(1\) 所需的最少操作数（题目数据保证每个 \(m_i\) 都存在），求所有 \(m_i\) 的值。

\(1\leq n,k\leq 3\times 10^5\)

Solution

容易发现一个下标最多只会出现在两个集合中。

假设只存在于一个集合中时，若该位为 \(1\)，那么这个集合一定不会被选；如果这位置为 \(0\)，那么这个集合被选。

同样若这个位置存在于两个集合时，为 \(1\) 时，两个集合同选或同时不选；为 \(0\) 时，一个选择一个不选。

基于上述原因，我们考虑维护一个带权并查集，每个集合拆成两个意思是选或者不选。

从 \(1\) 到 \(n\) 枚举位置，对每一位进行讨论。同时需要开一个虚点权值为 \(\text{inf}\)，将不会选到的状态（节点）连上去。

Code

#include 
using namespace std;
const int N = 3e5+5, inf = 1e9;

int n, kk, s, x, k[N][2];
char ch[N];
int fa[N<<1], val[N<<1];

int find(int u) {return fa[u] ? fa[u] = find(fa[u]) : u; }
void uni(int a, int b) {
    if (find(a) == find(b)) return;
    val[find(b)] += val[find(a)];
    fa[find(a)] = find(b);
}
int mix(int a) {return min(val[find(a)], val[find(a+kk)]); };
int main() {
    scanf("%d%d%s", &n, &kk, ch+1);
    for (int i = 1; i <= kk; i++) {
        scanf("%d", &s);
        while (s--) {
            scanf("%d", &x);
            k[x][bool(k[x][0])] = i;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= kk; i++) val[i] = 1;
    val[kk+kk+1] = inf;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (k[i][0] == 0) goto qwq;
        if (ch[i] == '1') {
            if (k[i][1]) {
                if (find(k[i][0]) == find(k[i][1])) goto qwq;
                ans -= mix(k[i][0])+mix(k[i][1]);
                uni(k[i][0], k[i][1]), uni(k[i][0]+kk, k[i][1]+kk);
                ans += mix(k[i][0]);
            } else {
                ans -= mix(k[i][0]);
                uni(k[i][0], kk+kk+1);
                ans += mix(k[i][0]);
            }
        } else {
            if (k[i][1]) {
                if (find(k[i][0]) == find(k[i][1]+kk)) goto qwq;
                ans -= mix(k[i][0])+mix(k[i][1]);
                uni(k[i][0], k[i][1]+kk), uni(k[i][0]+kk, k[i][1]);
                ans += mix(k[i][0]);
            } else {
                ans -= mix(k[i][0]);
                uni(k[i][0]+kk, kk+kk+1);
                ans += mix(k[i][0]);
            }
        }
        qwq :
            printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}