尾递归

add by zhj: 尾递归其实跟循环在代码形式上非常像，尾递归会同时用到反推和正推，由n->n-1是反推，由acc1, acc2 = acc2, acc1+acc2是正推。参见本文最后，分别用循环和尾递归实现Fibonacci数列。

原文：http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2325

尾递归（tail recursive），看名字就知道是某种形式的递归。简单的说递归就是函数自己调用自己。那尾递归和递归之间的差别就只能体现在参数上了。

尾递归wiki解释如下：

尾递归是指在递归函数中，递归调用返回的结果总被直接返回（即return），则称为尾部递归。尾部递归的函数有助将算法转化成函数编程语言，而且从编译器角度来说，亦容易优化成为普通循环。这是因为从电脑的基本面来说，所有的循环都是利用重复移跳到代码的开头来实现的。如果有尾部归递，就只需要叠套一个堆栈，因为电脑只需要将函数的参数改变再重新调用一次。利用尾部递归最主要的目的是要优化，例如在Scheme语言中，明确规定必须针对尾部递归作优化。可见尾部递归的作用，是非常依赖于具体实现的。

我们还是从简单的斐波那契开始了解尾递归吧。

用普通的递归计算Fibonacci数列：

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("请输入斐波那契数n：");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial(n);
    printf("%d \n", rs);

    return 0;
}

// 递归
int factorial(int n)
{
    if(n <= 2)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return factorial(n-1) + factorial(n-2);
    }
}

运行结果如下：

请输入斐波那契数n：20
6765

Process returned 0 (0x0)   execution time : 3.502 s
Press any key to continue.

在i5的CPU下也要花费 3.502 秒的时间。

下面我们看看如何用尾递归实现斐波那契数。

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("请输入斐波那契数n：");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial_tail(n, 1, 1);
    printf("%d ", rs);

    return 0;
}

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

运行结果如下：

 

请输入斐波那契数n：20
6765
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.460 s
Press any key to continue.

快了一倍有多。当然这是不完全统计，有兴趣的话可以自行计算大规模的值，这里只是介绍尾递归而已。

我们可以打印一下程序的执行过程，函数加入下面的打印语句：

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        printf("factorial_tail(%d, %d, %d) \n",n-1,acc2,acc1+acc2);
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

程序运行结果：

 

请输入斐波那契数n：10
factorial_tail(9, 1, 2)
factorial_tail(8, 2, 3)
factorial_tail(7, 3, 5)
factorial_tail(6, 5, 8)
factorial_tail(5, 8, 13)
factorial_tail(4, 13, 21)
factorial_tail(3, 21, 34)
factorial_tail(2, 34, 55)
factorial_tail(1, 55, 89)
55
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.393 s
Press any key to continue.

 

从上面的调试就可以很清晰地看出尾递归的计算过程了。acc1就是第n个数，而acc2就是第n与第n+1个数的和，这就是我们前面讲到的“迭代”的精髓，计算结果参与到下一次的计算，从而减少很多重复计算量。

fibonacci(n-1,acc2,acc1+acc2)真是神来之笔，原本朴素的递归产生的栈的层次像二叉树一样，以指数级增长，但是现在栈的层次却像是数组，变成线性增长了，实在是奇妙，总结起来也很简单，原本栈是先扩展开，然后边收拢边计算结果，现在却变成在调用自身的同时通过参数来计算。

 

add by zhj:下面用循环和尾递归分别实现斐波那契数列（Python）

可以发现，两种方法的代码非常像，我个人建议对于尾递归用循环实现更好，代码更易读，也更节省内存。

方法一：用循环实现

def Fibonacci(n):
    x = 0
    y = 1

    while n:
        x, y = y, x+y
        n -= 1
    
    return x

 

方法二：用尾递归实现

def Fibonacci(n, acc1, acc2):
    if n < 2:
        return acc1
    else:
        acc1, acc2 = acc2, acc1+acc2
        n -= 1
        return Fibonacci(n, acc1, acc2)

小结

尾递归的本质是：将单次计算的结果缓存起来，传递给下次调用，相当于自动累积。

在Java等命令式语言中，尾递归使用非常少见，因为我们可以直接用循环解决。而在函数式编程语言中，尾递归却是一种神器，要实现循环就靠它了。

很多人可能会有疑问，为什么尾递归也是递归，却不会造成栈溢出呢？因为编译器通常都会对尾递归进行优化。编译器会发现根本没有必要存储栈信息了，因而会在函数尾直接清空相关的栈。

延伸阅读

此文章所在专题列表如下：

1. 漫谈递归：递归的思想
2. 漫谈递归：递归需要满足的两个条件
3. 漫谈递归：字符串回文现象的递归判断
4. 漫谈递归：二分查找算法的递归实现
5. 漫谈递归：递归的效率问题
6. 漫谈递归：递归与循环
7. 漫谈递归：循环与迭代是一回事吗？
8. 递归计算过程与迭代计算过程
9. 漫谈递归：从斐波那契开始了解尾递归
10. 漫谈递归：尾递归与CPS
11. 漫谈递归：补充一些Continuation的知识
12. 漫谈递归：PHP里的尾递归及其优化
13. 漫谈递归：从汇编看尾递归的优化