布朗运动、伊藤引理、BS方程

看了这两篇知乎专栏，收获蛮多的，整理一下。
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题外话：看到根号t正比于t时刻的标准差时我恍然大悟，突然想起小学五六年级的时候，有个同学问老师，几乘几是不是就是几个几呀。

1 综述

证券价格是布朗运动描述的随机过程>>衍生品价格是证券价格的函数>>伊藤引理给出了对随机过程进行微分的方法>>求解随机微分方程(stochastic differential equation, SDE) 可以对衍生品进行定价

2 布朗运动 Brownian motion

又名维纳过程 Wiener Process 。一维布朗运动的严格定义：

时域t上的连续随机过程 满足以下三个性质：

1. ;
2. 平稳性：对于所有的 服从均值为0，方差为t-s的正态分布
3. 独立增量性：对于互不重叠的区间，是互相对立的

则此时B(t)是布朗运动。

由2可知，布朗运动的方差随时间区间的长度而线性增加。由3可知，布朗运动是一个马尔可夫过程 Markov Process ，在任意时刻之后的状态只和时刻的状态有关，与之前的轨迹无关，时刻的状态包含了对未来做出预测所需要的全部信息。认为股票当前价格包含了对未来做预测的全部信息，这一点与弱有效市场假说相符。同时，可以计算出其能够到达的极值的概率分布，便于投资风控。

3 布朗运动的性质：

1. 运动轨迹频繁穿过时间轴，在其上下来回波动
2. 在任意时刻，位置不会偏离一个标准差太远
3. 令，任意给定阈值，则
4. 布朗运动处处连续但处处不可微分

由2可知，时刻不会离太远。

image.png

由3可推出：

其中是标准正态分布的累积分布函数。
令，则

4 二次变分

区间上的一个划分，对连续函数，定义二次变分quadratic variation：

对于可微函数，由于和为同阶小量，则是的高阶小量，易得

对于布朗运动，和不是同阶小量，通过独立同分布随机变量的大数定理，可以证出
写成无穷小量infinitesimal difference的形式

5 用几何布朗运动描述股票价格

股票收益率记为一个漂移drift项和一个扩散diffusion项之和

使得任意之内的分布满足均值为 方差为的正态分布。
随机微分方程：至少包括一项随机过程的微分方程。

股票价格，收益率，则有方程：

实践证明，股票价格的连续复利收益率近似服从正态分布，且在时间上存在转折尖点，这些特征使人们喜欢用布朗运动描述股票价格。

随着时间的增长，方程将主要由项支配，可以写成的形式。

6 伊藤引理

令为布朗运动的连续平滑函数，将进行泰勒展开，保留第一项，并把代入第二项，舍去后面的小量，可以得到伊藤引理的基本形式

如果是时间和布朗运动的平滑函数，则

伊藤引理使人们可以对随机过程进行微积分操作。

7 伊藤引理的一般形式

令漂移参数，扩散参数，伊藤漂移扩散过程 简称伊藤过程。
取函数对二阶连续可导，对一阶可导。代入伊藤引理，并代入伊藤过程给出的表达式，则有伊藤引理的一般形式：

由推导过程可知， 和的随机性由同一个布朗运动决定，并不是互相独立的。

8 求解几何布朗运动

股票价格，期望年收益率 ，年收益率标准差满足：

取函数，利用伊藤引理，则有

说明是一个带漂移的布朗运动，则在任意时刻，服从正态分布
所以股价满足对数正态分布lognormal distribution。
对微分方程两边积分取指数，得：

其中是股票每年连续复利的期望，比每年期望收益率要小。因为一个是算术平均值，一个是几何平均值。
年均期望
年均连续复利期望

9 Black-Scholes方程

一大堆假设：

1. 期权的行权方式为欧式，即只有到期日才可以行权。
2. 股票的价格符合几何布朗运动，即股票的不确定性满足对数正态分布。
3. 可以做空证券，且证券可以被分割（如可以买卖半手股票）。
4. 市场无摩擦，即不存在交易费用和税收。
5. 在期权期限内，标的股票不支付股息。
6. 在期权期限内，标的股票年收益率的标准差已知且保持不变。
7. 市场不存在无风险套利机会。
8. 标的资产交易是连续的（如股票市场始终开市）。
9. 短期无风险利率是常数并已知。

欧式看涨期权European call option价格为，标的股票价格，时间，利用伊藤引理，并将微商离散化，得到方程组：


由于导致期权价格变化和股票价格变化 的布朗运动是同一个运动，所以构建投资组合：做空份期权，做多份股票，可以把布朗运动项对冲掉。这种对冲称为Delta对冲。
设投资组合的价值为，则在时刻内，有
同时，市场不存在风险套利，则这一投资组合的收益率等于无风险收益率，即，将和的表达式代入，即可得到Black-Scholes微分方程：

欧式看涨期权的边界条件：期权价格，其中行权时刻，行权价格

10 风险中性定价理论

BS方程中的都和风险选择无关。
定价过程：

1. 假定标的资产收益期望等于无风险利率，
2. 计算衍生品到期时的收益期望
3. 利用r对收益期望进行贴现

11 Black-Scholes 期权定价公式

欧式看涨期权在行权日的价值期望，对当前时刻贴现，则有期权的当前价格，由对数正态分布的性质，可以进一步计算得出：
看涨期权价格
看跌期权价格
其中

只需知道当前股价、行权价格、行权时间、无风险收益率、标的股票年收益率标准差这五个数，就可以计算出期权的价格。
N：标准正态分布的累积密度函数。
看涨期权在风险中性世界中，被行权的概率
欧式期权价格对股票价格的敏感程度/以股票波动率为市场风险定价，并在以股票为计价单位时，期权被行权的概率/风险中性世界中，按照股票价格加权的行权概率

BS公式在实际投资中的作用：可以求出期权价格对其他变量的偏导数，进而确定其风险敞口。

BS公式也可以用于计算资产的隐含波动率，即利用实际交易数据反推出的值，作为投资参考。