最长公共子序列和最长公共子串

基本概念

首先，需要搞清楚这是两个不一样的问题，序列要求可以不是连续的，而子串要求必须是连续的。
下面我们将来介绍两个问题的解法，我们采用的方法是以空间换时间的动态规划的问题，对于动态规划，如何写出状态转移方程是问题求解的关键，还需要我们找出问题的起始解是什么。对于一些比较难得问题，我们无法直接应用动态规划，需要做一些变换（其中大部分是数学的思想）

最长公共子串

X= ,Y=
首先，我们先写出一个最简单的方法，状态转移方程为：
record[i][j] = record[i-1][j-1]+1
i,j表示以xi和yj结尾的最长公共子串，具体代码如下：

class Solution:
    def LongestCommonSubstring(self,text,query):
        record = [[0 for i in range(len(query)+1)] for j in range(len(text)+1)]
        record[0][0]=0
        res,index = 0,0
        for i in range(0,len(text)):
            for j in range(0,len(query)):
                if text[i]==query[j]:
                    record[i][j] = record[i-1][j-1]+1
                else:
                    record[i][j] = 0
                if res

上述揭发时间复杂度和空间复杂度均为为O(len(text)*len(query))，按常理，动态规划的空间复杂度是可以优化到1维数组的，需要逆序便利，为什么逆序，
具体如下：

class Solution:
    def LongestCommonSubstring(self,text,query):
        record = [0 for i in range(len(text)+1)]
        res,index = 0,0
        for i in range(len(query)):
            for j in range(len(text)-1,0,-1):
                if query[i]==text[j]:
                    record[j] = record[j-1]+1
                else:
                    record[j] = 0
                if res

最长公共子序列

相对于上一个问题，这个问题更难一点，首先还是要写出状态转移方程：

         if text[i-1]==query[j-1]:
              record[i][j]=record[i-1][j-1]+1
         else:                   
             record[i][j] = max(record[i-1][j],record[i][j-1])

代码如下：

class Solution:
    def LongestCommonSubSequeence(self,text,query):
        record = [[0 for j in range(len(query)+1)] for i in range(len(text)+1)]
        for i in range(len(text)+1):
            record[i][0] = 0
        for j in range(len(query)+1):
            record[0][j] = 0
        for i in range(1,len(text)+1):
            for j in range(1,len(query)+1):
                if text[i-1]==query[j-1]:
                    record[i][j]=record[i-1][j-1]+1
                else:
                    record[i][j] = max(record[i-1][j],record[i][j-1])
        return record[len(text)][len(query)]

if __name__ =="__main__":
    s = Solution()
    text,query = "acaccbabb","acbac"
    print s.LongestCommonSubSequeence(text,query)   

以上就是最长公共子串与最长公共子序列的解法