线性代数的本质#0x01 - 矩阵与线性变换

Topic：线性变化的思想以及它同矩阵的关系
线性变换是操纵空间的一种手段；
矩阵·向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径；

1、线性变换在二维空间中长什么样子？

1.1、线性变化需满足的2+1个条件

• 直线依旧是直线
• 原点保持固定
• 网络线平行并等距分布

满足线性的两个条件

反例如下：

非线性

原点移动

还有一种特殊情况，就是原点没动，直线也依旧是直线，但是直线间不是等距的，因此对角线变为非线性的了，如下图所示：

网络线平行但未等距分布

1.2、 用数值描述线性变换

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我们二维平面接触最多的就是标准的（i,j）平面，这是一组正交基，但是假如我选择随意的某一组变量作为基就会相应地比较于（i,j）产生拉缩或者旋转。

比如下面这个2X2矩阵，假设（x,y）=（3，-2）就是对应的变换后的i轴，j对应；
ps. （3，-2）是相对于（0，1），（1，0）正交基做了转换的。

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因为这个矩阵是从标准的正交基转换过来的，包含了转换信息，因此把它当作新的基的时候，再对任意向量做乘法，就相当于：“把我自己承受过的痛楚也让你来尝试尝试吧！”（金木研Vs白虎）

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这里的计算方式跟学校里面学的貌似不一样啊，一般是左边的行乘以右边的列算出结果放到对应位置即可，但这里是右边的行乘以左边的然后做矩阵相加操作。
为什么这么操作？
个人感觉是这样更容易理解，比如是对基向量做缩放再相加的操作。如下图所示，其实两种算法都是等价的，用视频中这种方式更能只管理解矩阵的画面效果。

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推广到一般化，如下图所示，用字母代替，这就表示了它包含了一个描述线性变换的信息。

因此我们可以把矩阵的列当作变换后的基向量，然后对它做拉伸就是计算结果。同时也是对该向量做了线性变换对比于正常基。

实例：
现在有这么一个线性变换，就是逆时针旋转九十度，那么我们首先把标准基转个90度，得到了一个对应的矩阵：

现在我们有这么个目标向量（x,y）需要对其也做同样的线性变换，因此我们直接将得到的矩阵跟这个向量做乘法就好了，操作转移~

旋转

这里有个剪切操作，i方向上不变，所以还是（1,0），j方向上斜着切了一下，因此变为(1,1)，我们可以看到坐标系相对于原来的是斜了（但是为什么要说是剪切呢？），因此跟目标向量相乘就是将之做“剪切操作”。

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这个很简单，但是很有趣，就是当两个基是线性相关时，说明在一条直线上，因此二维平面就被压缩成一维的了，这特么就是降维打击啊！！！

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2、矩阵向量乘法