NFA转DFA的子集构造(subset construction)算法

之前学习编译原理的时候老师有讲过子集构造法，当时我以为自己听懂了，信心满满。可是这两天我做了一些题目，发现自己实际上还是太嫩了，学习浮于表面。之后又重新看了龙书和虎书，对子集构造法有了更深层次的了解。特此发出一篇文章分享我的经验。

1 概念

概念是我们学习编译原理的重中之重，虽然他很晦涩难懂，但我有必要将其放在最开始。

虎书的概念更偏向于理论化，我当时看的时候一头雾水，但是不要担心，之后会一点一点解释的。

首先，我们形式化定义闭包如下：

：状态沿着标有的边可到达的所有NFA状态的集合；
：对于状态集合，从出发，只通过边可以达到的状态集合；
- 这种经过边的概念可以用数学方法表述，即是满足如下条件的最小集合：
- 我们可以用迭代法来算出：

解释一下：当我们位于一个状态集合，里任意状态经过若干能够到达的状态，都将包含在里。

现在，假设我们位于由NFA状态组成的集合中。从中的状态出发，输入符号，将到达NFA新的状态集；我们称这个状态集为：

解释一下：将遍历集合中的所有状态，得到关于的状态集，并对求，得到的即为。简而言之，就是从一个状态集，经过一个输入到达的状态集为。

利用能更形式化地写出NFA模拟算法。如果初态是，输入字符串是，则算法为：

有了和算法，就能构造出DFA，DFA的状态就是。抽象而言，如果则存在一条从到的标记为的边。令是字母表：

$states[0] \leftarrow \lbrace \rbrace; \qquad states[1] \leftarrow closure(\lbrace s_1 \rbrace) \\ p\leftarrow 1; \qquad j \leftarrow 0 \\ while \ j \leq p \\ \ \ \ foreach \ c \in \Sigma \\ \qquad e \leftarrow DFAedge(states[j],c) \\ \qquad if \ e =states[i] \ for \ some \ i \leq p \\ \qquad \quad \ then \ trans[j,c] \leftarrow i \\ \qquad \quad \ else \ p \leftarrow p+1 \\ \qquad \qquad \quad \, states[p] \leftarrow e \\ \qquad \qquad \quad \, trans[j,c] \leftarrow p \\ \; \; j \leftarrow j+1$

解释一下：代表了最终DFA的一个状态所对应的NFA状态集，为初始状态，代表了初始状态的闭包。上文中的代码实际上和龙书的代码一个意思，龙书的代码更加简单直白，所以这里可以跳过。等看完下面的龙书再回头来看

个人认为龙书的概念更加通俗易懂，但是由于没有数学公式的归纳，导致理论基础不扎实，有点慌。所以推荐两本书一起看。

首先，是概念：

子集构造法的基本思想是让构造得到的DFA的每个状态对应NFA的一个状态集合。DFA在读入之后到达的状态应该对应于相应的NFA从开始状态出发，沿着以为边的路径能达到的状态的集合。

解释一下：概念很直观哈，我就不解释了^_^

接着，是算法：

输入：一个NFA N
输出：一个接受同样语言的DFA D
方法：我们为算法 D 构造一个转换表。D的每个状态是一个NFA集合，构造，使得 D “并行地”模拟 N 在遇到一个给定输入串可能执行的所有动作。下面我们给出一些函数的定义：

操作	描述
	能够从NFA状态开始只通过转换到达的NFA状态集合
	能够从中某个NFA状态开始只通过转换到达的NFA状态集合，即
	能够从中某个状态出发通过标号为的转换到达的NFA状态的集合

在读入第一个符号之前，N可以位于集合中的任何状态上，其中，是 N 的开始状态。
下面进行回归纳：假定N在读入输入串之后可以位于集合T的任意状态上。如果下一个输入符号是，那么N可以立即移动到集合中的任何状态。然而，N 可以读入之后再执行几个转换，因此 N 在读入之后可以位于中的任意状态上。接着我们可以构造出转换函数：
- 一开始，是的唯一状态，且它未标记(请注意，“标记”是非常重要的概念)；
- $while(在Dstates中有一个未标记的状态T) \lbrace \\ \quad \quad \ 给T加上标记; \\ \quad \quad \ for(每个输入符号a) \lbrace \\ \qquad \qquad \quad U=\epsilon-clusure\left(move(T,a) \right) \\ \qquad \qquad \quad if(U不在Dstates中) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \, 将U加入Dstates中，且不加标记; \\ \qquad \qquad \quad Dtran[T,a]=U \\ \quad \quad \ \rbrace \\ \rbrace$

解释一下：这部分代码和虎书上的代码意思相近，这个更好理解。算法里的每个都可能是DFA的一个状态。