数据结构(最小生成树)

最小生成树

如下图是个带权值的网结构图。要用最小的成本将所有元素连接起来,即n个顶点,用n-1条边把连通图连接起来,并且使得权值的和最小。定义:把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。这里介绍两种经典算法。


数据结构(最小生成树)_第1张图片

1. 普利姆(Prim)算法

假设N=(V,E)是连通图,TE是N上的最小生成树中边的集合。

  1. U={u0}(u0∈V), TE={ }。
  2. 在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E 中找一条代价(权值)最小的边(u0,v0) 并入集合TE,同时v0并入U。
  3. 重复2,直至U=V为止。
    此时TE中必有n-1条边,则T= (V,{TE}) 为N的最小生成树。


算法步骤:
为实现这个算法需附设一个辅助数组closedge,以记录从U到V-U具有最小权值的边。对每个顶点vi∈V-U,在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],他包含2个域:lowcost和adjvex,其中lowcost存储最小边上的权值,adjvex存储最小边在U中的那个顶点。显然closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u,vi)|u∈U},其中cost(u,v)表示赋予边(u,v)的权。

struct
{
      VerTextType adjvex;//最小边在U中的那个顶点
      ArcType lowcost;//最小边上的权值
}closedge[MVNum];
  1. 首先将初始顶点u加入U中,对于其余的每一个顶点vj,将closedeg[j]均初始化为到u的边信息。
  2. 循环n-1次,做如下处理:
  • 从各组边closedeg中选出最小边closedge[k],输出此边。
  • 将k加入U中。
  • 更新剩余的每组最小边信息closedeg[j],对于V-U中的边,新增加一条从k到j的边,如果新边的权值比closedeg[j].lowcost小,则将closedge[j].lowcost更新为新边的权值。
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G,VerTexType u)
{//无向网G以邻接矩阵形式存储,从顶点u出发构造G的最小生成树,输出T的各条边
    k = LocateVex(G,u);//k为顶点u的下标
    for(j=0 ;j
数据结构(最小生成树)_第2张图片

2. 克鲁斯卡算法

假设连通网N=(V,E),将N中的边按权值从小到大的顺序排列。

  1. 初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{ }},图中每个顶点自成一个连通分量。
  2. 在E 中选择代价最小的边,若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上,则将此边加入到T中(即不形成回路),否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。
  3. 重复2,直至T中所有顶点都在同一个连通分量上为止。


    数据结构(最小生成树)_第3张图片

    算法的实现要引入以下辅助的数据结构。

  1. 结构体数组Edge:存储边的信息,包括边的两个顶点信息和权值。
struct
{
      VerTexType Head;//边的始点
      VerTexType Tail;//边的终点
       ArcType  lowcost;  //    边上的权值
}Edge[arcnum]
  1. Vexset[i]:标识各个顶点所属的连通分量。对每个顶点vi∈V ,在辅助数组存在一个相应元素Vexset[i]表示该顶点所在连通分量。初始时Vexset[i],表示各个顶点自成一个连通分量。
int Vexset[Mvnum];

算法步骤:

  1. 将数组Edge中的元素按权值从小到大排序。
  2. 依次查看数组Edge中的边,循环执行以下操作:
  • 依次从排序好的数组Edge中选出一条边(U1,U2)
  • 在Vexset中分别查找v1和v2 所在的连通分量vs1 和vs2,并进行判断:

*如果vs1 和vs2不等,表明所选的两个顶点分属不同的连通分量,输出此边,并合并vs1 和vs2两个连通分量。
*如果vs1 和vs2相等,表明所选的两个顶点属于同一个连通分量,舍去此边而选择下一条权值最小的边。

 void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{//无向网以邻接矩阵形式存储,构造G的最小数T,输出T的各条边
      sort(Edge);//将数组Edge中的元素按权值从小到大排序
      for(i=0;i

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