04 | 复杂度分析（下）：浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

本篇所涉及的提问，正文的知识点，全都来自于王争的《数据结构与算法之美》，当然，我并不会全文照搬过来，毕竟这是付费的课程，应该会涉及到侵权之类的问题。

所以，本篇正文中的知识点，是我从课程中将知识点消耗后，用个人的理解、观念所表达出来的文字，参考了原文，但由于是个人理解，因此不保证观点完全正确，也不代表错误的观点是课程所表达的。如果这样仍旧还是侵权了，请告知，会将发表的文章删掉。

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当然，如果你对此课程有兴趣，建议你自己也购买一下，
本章讲述四个复杂度分析方面的知识点
1、最好情况时间复杂度（best case time complexity）
2、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）
3、平均情况时间复杂度（average case time complexity）
4、均摊时间复杂度（amortized time complexity）

1、最好、最坏情况时间复杂度

• 最好情况时间复杂度：在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。
• 最坏情况时间复杂度：在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

2、平均情况时间复杂度

• 平均时间复杂度的全称叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

借助刚才的例子来解释：
假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。可以得出：

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这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

3、均摊时间复杂度

平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

举个例子说明下：

 // array 表示一个长度为 n 的数组
 // 代码中的 array.length 就等于 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

很容易看得出：
最好情况时间复杂度为 O(1)。
最坏情况时间复杂度为 O(n)。

假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1))。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

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O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个O(1) 的插入操作，循环往复。针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。

那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢？

我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1)的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。