【信号与系统】卷积积分这样学！

卷积积分是一种数学运算，那么既然是数学运算，那么就得有数学的特性——定义、性质、定理。

本文将从卷积积分的理论、案例、求解方法、知识图谱四方面介绍卷积积分！

---

一、【理论】卷积积分的理论

· 卷积积分定义：

卷积图解01

卷积图解02

函数卷积的定义

数列卷积的定义

• 卷积积分理解：
卷积积分定义描述得如此抽象，能不能给个生动点的描述？有的，看下文！
字面上理解：
卷积：卷，把蛋卷起来，叫蛋卷，卷积，就是把多个蛋卷 积起来，求重叠部分面积！
符号：卷积是一种数学运算，我们学过的数学运算有加减乘除，那么我们来看看，卷积的符号和加号、乘号的关系！

卷积和加法乘法的关系

卷字

卷字词典释义

故事上理解：

如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……

如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；

如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。

本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了。

大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？

• 卷积积分性质：
微积分性质和时移特性最喜欢被冲激函数和阶跃函数使用：阶跃函数的导数为冲激函数

卷积的微分、积分性质

时移特性

---

二、【案例】卷积积分的典型应用

· 案例1：与冲激函数的卷积
· 案例2：与阶跃函数的卷积

卷积积分的典型应用

---

三、【方法】卷积积分的求解方法

求解卷积积分的方法应结合多种方法一起用

卷积的方法

· 公式法求解卷积积分：
公式法包括了：定义法和性质法

公式法举例

• 图解法求解卷积积分：

Paste_Image.png

图解法举例：
http://www.docin.com/p-875032548.html?docfrom=rrela

---

四、【图谱】卷积积分的知识图谱

花了这么久学的一个知识，我们总得知道他所处的知识体系的位置吧！废话不多说，看图！
卷积本身的知识图谱：

图谱01

卷积在信号与系统中的位置：

图谱02

---

四、问题补充：

1. 卷积积分和普通积分的区别？

结论是：普通积分相当于加法，卷积积分相当于加权叠加。
理由是：我们知道图形积分，就是把无限多个宽度相等的长条进行累加。而卷积积分相当于在进行长条累加的时候，加入了权重。这就像古代交易，有的长条是金条，有的是银条，有的是铜条。这时候就不能用一般的加法运算了，就需要加入权重。