高考数学解析几何有哪些实用的运算技巧?

作者：刘爱洁

高考数学 解析几何主要分为两部分：直线和圆、椭圆双曲线和抛物线。

第一部分直线与圆，主要的技巧就是数形结合，就是一定要画图才可以。比如直线的问题，不管是垂直还是平行的这种，都有可能斜率不存在，所以你只要画个图，多画几种情况就可以了。直线与圆的问题，经常用的就是圆心到直线的距离，半径和弦长的一半组成直角三角形，然后比如相切的问题，也是转化为直角三角形求解的呢，所以对于直线与圆的问题套路经常是这么处理，还有最大值最小值的问题，都是画图后做对称，或者转化就会变成比较好解决的问题，所以不会的话就画图思考吧。

第二部分就是椭圆抛物线和双曲线了，这一块说起来就长了，因为圆锥曲线的问题还是有很多的套路的，首先套路是：设直线方程（考虑斜率哦），联立圆锥曲线方程，消元得到一个方程后，分类讨论二次系数为0的问题，如果为0，可以直接求解，如果不为0，下一步就是判别式大于等于0，并且韦达定理表示出来，这是套路，基本上有个题目你这么做就算不对的话也可以拿到几分了呢。

再说题型的问题

1.

基本计算的问题：就是根据a、b、c、e、准线、渐近线来计算的，所以掌握这些基本的计算量，区分开椭圆和双曲线的区别就可以了呢。

2.圆锥曲线轨迹的问题：圆锥曲线有两种求解的方法，第一种方法是待定系数法，但是要注意焦点是在X轴还是在Y轴，再去待定系数求解就可以了，第二种方法是定义法，一点到两台直线的距离之和为定值，注意定值的范围写出来肯定是椭圆了，一点到两台直线的距离之差的话要注意绝对值才是双曲线，如果没有绝对值的话就是双曲线的单支问题了，所以要看清楚条件；定义当然少不了第二定义，第二定义比较稳定，就是一点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,根据e的范围你就可以确定是什么类型的曲线了。

3.直线与圆锥曲线点差法（弦中点问题）：这个是不需要用我们上边的套路的，直接根据点在圆锥曲线上，带入做差化简，得到斜率（存在的话，还是要讨论斜率不存在的情况的）与弦中点的方法，这个方法叫做点差法，所以要学会这个方法，看清楚只有弦和中点才会用的方法哦，当然后边有个中垂线的问题也可以用点差法呢。

4. 直线与圆锥曲线弦长问题 ：弦长的话我们一般直接表示弦长，

根据这个计算的公式我们直接吧求弦长的问题转化为了韦达定理的应用，所以直接用咱们刚开始总结的套路就可以了呢。

5.直线与圆锥曲线面积问题：面积的求解公式来说，第一是底*高/2,那底可以用弦长公式求解，高用点到直线的距离，可以直接求解的说。第二种我们可以用absinC/2,用这个的话可以想到三角函数的内容了，所以强大的三角函数和向量就可以用起来了呢，就是sinC可以求解cosC,那向量的乘积公式只要包含角度就有可能用到，二倍角公式、两角和与差的正余弦公式，还有解三角形的正余弦定理也可以用到的，所以没办法总结到底用哪个，总之都会用到呢。

6.直线与圆锥曲线对称与中垂线：对称就是垂直和平分，跟中垂线的类似，垂直问题一般可以斜率乘积为-1，向量乘积为0去处理，那平分的问题就是中点问题，可以用点差法了呢，也可以直接粗暴的去表示直线，去求解呢

7.直线与圆锥曲线与向量问题：向量问题的话就是要不就用向量的各种公式转化为计算求解的问题，这种用得少，计算量太大，那向量问题一般都是直接套路了后看看需要啥向量公式用啥，需要咱们韦达定理的啥结论就用啥，上手计算就好，没有别的了

8.定值与最值的问题：定值呢，一般是先通过特殊点找到一个值，在证明定值存在，最值问题一般是通过套路表示成一个参数的式子，再根据原先咱们学函数的值域的问题啊，三角函数的值域问题求解值域了，这是基本思路撒

9.定点问题：一般是两方法，引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（个人更喜欢后一种，计算不出来最起码有不少分数的）

好了，基本上也就这些类型的问题了，不管怎么说，计算量很大的，所以唯一的方法就是塌心计算，相信自己可以算出来的呢，对于计算差的孩子，注意正负号，注意计算容易出现的点，经常计算到最后你都会发现可以消去很多内容的，如果你没有发现的话回去重新计算吧。

最后，祝愿所有的孩子学到这一块都能掌握这些套路和技巧，在高考这个题目拿满分，加油！

爱洁老师：江湖人称爱姐，沪江首席高中数学资深教师，北京科技大学数学系研究生。授课过程饱含激情又带有欢乐，只有亲身体验过才能知道其中的酸甜苦辣。爱姐所带学生单科成绩可进步20-80分，提倡快乐学习，爱上数学，变身数学学霸~

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