博弈论算法学习记录
学习资料
- 总结
- 巴什博奕
- 威佐夫博弈
- 尼姆博弈
- 博弈问题与SG值
巴什博奕（Bash Game）
博弈原题
最简单的巴什博奕题大概就是抢三十了，两个人分别报数，每人一次可以报1~4个数，先报数到30的人赢。
这个游戏是典型的后手必胜游戏。首先，当一个人报数到了25，那么他必然会赢，因为不论下一个人报数多少，他都能凑足30。既然25 -> 30是这样，那么20 -> 25也是这样，凡是报数到20的人下一回合都能报数到25。以此类推，我们发现，后手必然能够报数到5，然后是10，15，20，25。
这样就得到了是后手必胜。
博弈原理
我们分析一下其中的原理，为什么是5？因为 $5=4+1$ 。那么我们就得到了巴什博奕完善的表达形式：
有一堆n个石子，两人在自己的回合可以任意取1~m个石子，先取完者胜。那么如果 $n=k\times(m+1)$ ，后手必胜，否则先手必胜。
威佐夫博弈（Wythoff Game）
博弈原理
有两堆石子，两人可以在自己的回合取某一堆中任意数量的石子，也可以同时从两堆中任意取相同数量的石子，先取完者胜。
推导过程看不懂。但大体过程是这样的：
用(a, b)表示两堆石子数目，第一必败态毋庸置疑是(0, 0)；第二必败态是(1, 2)，因为先手无论如何取，后手下一步都能取完所有石子。
然后是第三必败态(3, 5)，因为无论先手如何取，后手都能走到下一个必胜态。以此类推可以得到：
| 序号 | 必败态 |
|---|---|
| 0 | (a, b) |
| 1 | (0, 0) |
| 2 | (1, 2) |
| 3 | (3, 5) |
| 4 | (4, 7) |
| 5 | (6, 10) |
| 6 | (8, 13) |
| 7 | (9, 15) |
| 8 | (11, 18) |
观察样例，很难得出结论，但是样例数很多之后我们发现了其中的规律：
$$
a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\times (b-a)
$$
博弈应用
判断先\后手输赢
很好解决，直接判断a，b就可以了。
求先手输赢，输出第一次取法
先考虑两堆同时取，这样差值是不变的。如果只能取一堆，那么枚举差值即可。
尼姆博奕（Nimm Game）
博弈原题
有三堆石子，两人可以在自己的回合取某一堆中任意数量的石子，先取完者胜。
我们依然用(a, b, c)表示当前状态。首先我们知道(0, 0, 0)是必败态。第二种必败态是(0, n, n)，这种状态，无论先手那多少，后手都可以从另一堆中拿同样数量。
然后直接给出规律吧……完全看不出来的。
必败态的充要条件是a ^ b ^ c = 0。
博弈推广
现在有n堆石子，其他规则不变。这样的博弈依然服从尼姆博弈的规律。
我们把满足所有值的异或值是0的状态称为平衡状态，平衡状态为必败态。并且平衡状态只能转化为非平衡状态，非平衡状态可以转化为平衡状态。
那么我们把博弈规则改一改，改为先取完者负。
这样初看很复杂，但是实际依然存在规律。首先依然按照尼姆博弈的规律取，直到有某一堆物品数量大于1，其他堆全部为1的状态，将这堆取空或者取为1，使数量为1的堆的数目变为奇数即可。因为操作需要满足平衡状态，所以不会面对这种情况，这样就可以判断胜负了。
例题（HDU 1850）
思路
求尼姆博弈先手是否能胜，如果能，第一步有几种走法。
思路很简单，只要看当前是否是非平衡状态，下一步哪个堆可以转化为平衡状态即可。
代码
#include
using namespace std;
int main(){
int n, num[100+7];
while (scanf("%d", &n), n) {
int sum = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", num+i);
sum ^= num[i];
}
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (num[i] > (sum^num[i])) ++cnt;
printf("%d\n", cnt);
}
return 0;
}
反尼姆博奕例题（HDU 1905）
思路
与正常的尼姆博弈几乎相同，只是要特判奇数个1和偶数个1的情况。
代码
#include
using namespace std;
int n, num[50];
void solve() {
int sum = 0, odd = 0, even = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", num+i);
sum ^= num[i];
num[i] < 2 ? ++odd : ++even;
}
if ((sum && even) || (!sum && !even)) puts("John");
else puts("Brother");
}
int main(){
int t; scanf("%d", &t);
while (t--) solve();
return 0;
}