结构动力分析的MATLAB实现（2）

书籍：《结构动力分析的MATLAB实现》党育等编著，2014，科学出版社
第二章内容

讨论内容：

• 线性结构的确定性分析。

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运动方程：

• 普通微分方程形式
• 状态空间形式

分析方法：

• 时程分析法
• Duhamel积分法
  • （1）定积分法
  • （2）递推法
• 求解微分方程法
  • （1）四阶定步长Runge-Kutta法（常用）
  • （2）状态转移矩阵法
  • （3）精细积分法
  • （4）利用MATLAB控制工具箱的lsim()函数求解
• 逐步积分法
  • （1）中心差分法（有条件稳定）
  • （2）线性加速度法（有条件稳定）
  • （3）Newmark-β法
  • （4）Wilson-θ法
• 振型分解法
  • 实振型分解法
  • 复振型分解法
• 频域分析法

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（一）时程分析法

1. Duhamel积分法
【原理】将荷载时程看成一系列连续脉冲荷载组成，然后叠加。
【依据】Duhamel积分公式
【适用】单自由度结构
（1）定积分法：直接积分（采用函数quadl()、trapz()求解积分问题）（积分形式，不能用于非线性结构）
（2）递推法：利用ti时刻的反应求解ti+1时刻反应，用矩阵运算代替积分运算。
【比较】递推法精度高于定积分法，推荐递推法。

2. 求解微分方程法
【原理】数学角度，二阶常微分方程的初值问题。通常用一阶显式微分方程组表示，即运动方程的状态空间表达形式。
【依据】《数值分析》课程内容
【适用】单、多自由度结构
（1）四阶定步长Runge-Kutta法（常用）
（2）状态转移矩阵法
（3）精细积分法
（4）利用MATLAB控制工具箱的lsim()函数求解（线性结构）

3. 逐步积分法
【原理】每个时间增量段内建立平衡方程，逐步递推。
【适用】单、多自由度结构，线性、非线性结构。
（1）中心差分法（有条件稳定）
（2）线性加速度法（有条件稳定）
（3）Newmark-β法
（4）Wilson-θ法

（二）振型分解法

【原理】利用振型将多自由度转化为独立的单自由度，再叠加。
【适用】多自由度，线性结构。

1. 实振型分解法
阻尼矩阵为比例阻尼。

2. 复振型分解法
阻尼矩阵为非比例阻尼。将运动方程转化为状态空间形式，使构造的特征矩阵为对称阵，求出的特征值和特征向量（振型）都是复数。

（三）频域分析法

【原理】将外荷载进行傅里叶变换为简谐分量的和。
【适用】单、多自由度，线性结构。
【注意】
（1）荷载的采样点数必须为2的n次幂。注意荷载的采样点数不能过少。
（2）积分时间不能过短。
否则，误差较大，结果不可信。