傅立叶变换

傅立叶变换分类：

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四种原信号图例：

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一般是从傅立叶级数开始导出傅立叶变换的。傅立叶级数很漂亮，物理意义相当清晰。它表示一个周期信号可以用一族正交完备的正弦波通过线性组合得到

正弦函数是简单的周期函数：y=Asin(wt+Φ)，其中周期为2π/w，A为振幅，w为角频率，Φ为初相位。

1. 傅立叶级数公式

给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数：

其中傅里叶系数为：

2. 傅立叶级数性质

收敛性

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：

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正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧式空间中，互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

奇偶性

奇函数f0可以表示为正弦级数，而偶函数fe则可以表示成余弦级数：

几种常见波形的傅里叶级数展开式：

1. 梯形波（奇函数）

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如上图所示，该梯形波是一个周期为T的奇函数，幅值为Amax，上升沿时间为d，在区间[0,PI/2]的函数表达式为：

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由奇偶性可知，该波形在区间[-PI/2,PI/2]的傅里叶级数展开式为：

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其中傅里叶系数为：

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将f(t)函数代入傅里叶系数表达式中，可得：

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计算机主要处理离散周期性信号，即周期性离散时间傅里叶变换（DFT）