睡前说：广义相对论（2·弃）

我们接着前一小节继续扯淡。

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上一节我们主要所作的事情，就是下面这三条假设：

1. 假定时空每个点的邻域和闵氏时空就差一个坐标变换；
2. 假定粒子运动轨迹是极值曲线（极长或者极短或者驻值）或者自平行曲线；
3. 假定度规和联络满足适配条件的约束。

其中，第一条假设等于告诉我们时空是一个微分流形，而且可以在其上引入黎曼形的度量结构，从而使一个度量空间。
　　第二条假设分为两部分：对于上述度量空间，如果要求粒子运动满足该流形上的极值曲线，那么可以给出粒子的运动；同时，如果在这个具有度量结构的微分流形上进一步引入联络结构，那么联络也可以给出粒子的运动规律。
　　第三条假设则是说：度量结构与联络结构满足一个恰当的匹配关系，从而也就给出上面所说的两个运动规律的同一。

从纯粹数学的角度来说，现在时空上有这么一些东西：拓扑结构、微分结构、度量结构和联络结构。其中后两者在适配条件的约束下彼此关联。
　　其中，最有趣的便是联络结构，它给出了不同位置上的矢量之间的关联，将一个点上的矢量“运输”到另一个点上，从而使的平行线也可以走出曲线。
　　那么，我们自然会问一个问题：如果一个矢量绕着一根闭合曲线走一圈，回到原来的位置，那么此时这个新的矢量和原来的矢量之间有什么变化呢？
　　要回答这个问题，有很多方法，不过我们可以选择一个比较有趣的路线：形式场与外微分。

假定我们只有微分结构，别的什么都没有，那么在这样的微分流形上，我们不能谈论度量，不能谈论内积，当然也就不能谈论什么协变微分之类的东西。
　　那么在这样的微分流形上我们可以谈论什么呢？
　　一个当然可以谈论的东西，就是将微分流形上的点映射到某个特定值域F的映射，这样的东西总是可以谈论的。
　　F可以是任何东西，而我们首先的突破口当然是实数域R了，因为它最简单，同时又足够复杂。
　　因此，我们将这种将微分流形上的点映射到实数域R的映射成为这个微分流形上的0阶形式场，简称0形式（0-form）。
　　既然有了0形式，一个很自然的问题就是对着东西的微分——微分流形微分流形，当然是可以让你玩微分的（呃。。。这句话纯粹是扯淡一下，大家别介意。。。）。
　　我们对0形式做一个微分，自然就得到了一个和传统数学概念上的“矢量”非常类似的东西，在每个点上都可以有一个这样的矢量，其特征就仿佛是这个0形式函数的梯度，这货就称为1形式。
　　到这里都挺trivial的，下面就要来看2形式了。
　　我们可以很自然地考虑这么一个问题：对1形式继续做微分，得到的是不是就是2形式了？
　　但这样的想法很容易遇到问题，那就是我们在上一节说过，现在每个点上的矢量是定义在彼此不同的矢量空间（切空间）中的，所以微分不是想做就能做的——为什么0形式可以啥都不管地直接做微分？因为0形式是标量场，标量场我们认为不存在这种矢量才有的问题（上一节中我们看到，这种差异体现在一个坐标变换上，而对于标量，不需要做这个坐标变换）。
　　好了，这就是说，直接对1形式做普通的微分，从概念上来说压根就不成立，所以我们只能用协变微分——可我们现在只有微分结构而没有联络结构，所以协变微分还没有定义。
　　这点也体现在另外一个事实上，那就是——如果我们对整个微分流形做一个坐标变换，那么普通微分的结果不能保证坐标变换和微分的顺序可交换，从而一个不依赖于坐标系选择的量可能在普通微分后就变得依赖于坐标选择了——这也是联络的另一个重要作用，当然这个作用下的联络又被称为“克氏符”（全称为克里斯托夫符号）。
　　所以，现在要怎么办呢？
　　我们可以从上一节的结果中看到，在无挠的情况下，下面这个东西的表象倒是非常好：

　　这个东西在坐标变换下的形式很好：

　　从中不难看出，如果没有这个交错的减法（以及挠度为零），而只是一个普通的微分，那么在坐标变换下这个微分不会给出足够好的和矢量一样的性质。
　　所以，现在我们可以说如何构造2形式了：

　　其中下标的中括号是构造交错和（也称为“反对称化”），也就是一个序列和另一个序列每交换一次符号就乘一个-1，然后把这样得到的系数和这个序列所对应的东西乘起来再求和，然后除掉一个对称因子——序列元素数量的阶乘。
　　这样，我们可以顺利地构造n形式场了：

　　其中，两个等号之间的部分中的那个d称为外微分，它将n-1形式场与n形式场沟通了起来。我们终于在微分结构上定义了一个恰当可用又不依赖于联络的微分一样的东西了。

在现在这个情况下，有一个非常有用的东西，那就是Stokes公式：

　　这个公式所说的，就是如果我们已经有了一个微分流形中的任意区域Ω，同时在微分流形上又有一个n形式场ω，那么我们在这个区域的边界dΩ（偏微符号打不出……）（它完全可能是复联通的）上对n形式场ω的积分，等于在这个区域内对这个n形式场的外微分的积分。
　　这个东西本身的意义和价值就非常的巨大，因为它告诉我们微分流形局部的性质（形式场）和它的整体性质（边界）之间是有关联的。然后它还可以给出de-Rham上同调链。
　　但，今天这里不打算说这些过于数学化的东西。
　　我们主要就是要知道这么一点： 一个形式场在封闭边界上的积分，可以对应到封闭边界内该形式场的外微分的积分。

到目前为止，我们主要所作的，就是在只有微分结构的情况下给出了微分流形上的形式场与外微分，以及Stokes公式。

下面，我们就要重新引入联络了。

在定义0形式的时候，我们说的是将流形上的点映射到实数域，但我们也一样可以将流形上的点映射到矢量，于是我们就可以定义流形上的矢量场——它不是1形式，而是1形式的对偶（当然，这点现在不重要）。
　　既然有了这样的矢量场，我们自然可以来讨论这样的矢量场的外微分是什么。而对于这样的问题，由于矢量场和形式场是两类不同的场，我们并不能用上面所说的方法很“技巧性”地构造一个2形式一样的矢量场的外微分出来，所以对于矢量场的外微分我们终于还是要引入联络了：

　　其中符号∧是锲形积，基本就等于两个形式场乘在一起后再做一下上面提到的那个交错求和。
　　这里的ω便是联络，而上下指标表示的是张量场的指标，而不是形式场。因此联络是一个取值为(1,1)型张量的1形式场，称为联络1形式。
　　因此，外微分也就被拓展为了协变外微分：

　　相应的，针对取值为张量场的形式场的Stokes公式也可以用协变外微分来改写。

到这里，所有用得着的东西都登场了，于是我们就可以来看一个有趣的问题了——

如果，我们把一个矢量，沿着某个闭合的回路“平移”一圈，那么回到出发点的时候，这个矢量和原来的矢量相比，发生了哪些变化？

为了回答这个问题，我们可以借用一下上一节中的一个结论：

　　因此，那个问题本身就可以被表述为：

　　所以我们最关心的就是这个东西：

　　而，关于被积分的联络的外微分又可以表达为：

　　第一项在积分中为零，因为矢量V在整个“平移”过程中为常量。
　　于是最后我们就有：

　　我们将被积分的部分这个2形式场定义为曲率2形式，因此最开始的问题就可以回答了：

一个矢量沿着一个闭合回路的平移的最终结果，等于其自身与闭合回路所围面积中的曲率2形式的缩并的总和。

换言之，如果一个围绕一个点的闭合回路足够接近这个点，那么这个平行输运带来的对原矢量的差异就正比于该矢量与该点曲率的缩并。
　　而，这样的情况我们在日常生活中的地球仪等曲面上也会遇到类似的，因此“曲率”这个意思便由此而明确了。
　　更值得注意的是，曲率2形式的获得只和联络1形式相关：

　　也就是说，曲率本质上是由联络结构给出的，在通过适配条件将度量和联络关联起来以前，曲率和度量并没有直接联系。

如果我们将作为形式场的曲率用上一节中所用的张量场的形式来写，那结果就是：

　　由于它和联络2形式的关联，我们天然可以知道它对于它的前两个下标是反对称的。进一步我们又可以通过协变外微分的定义而得到这个关系：

　　它满足循环恒等式：

　　如果进一步引入度量，并要求度量和联络的适配，则有以下结论：

　　至此，我们终于有了一个二阶对称张量，而且它和曲率密切相关。通过它，我们就可以得到爱因斯坦场方程：

　　其中左面是爱因斯坦张量，描述了时空的弯曲程度，而右面的G是引力常数，二阶张量T是时空上能动张量。
　　因此，这就告诉我们：物质的能量、动量分布决定了时空如何弯曲。
　　而，我们在第一节看到，弯曲的时空会使得粒子的运动发生偏折。
　　这两点结合在一起，就给出了引力的时空几何描述理论，也就是广义相对论。

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今天的睡前说就到这里。
　　今天的内容比较枯燥，基本就是一大堆数学，写得我自己都没啥动力了。。。
　　下次我们从另外一个视角来重新考虑这个问题，希望可以写得有趣点吧。。。

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