多数人眼里，数字就是数学的全部。他们眼里的数学家，就是天天数数，大数，更大的数，然后给它们起一些洋气的名字。我曾经也是这么觉得——至少，在Evgeny Evgenievich引导我了解现代数学的概念和思想之前我是这么觉的。然而这些内容里就包括发现夸克结构的关键：对称的概念。
什么是对称？每个人都有直观的认识——看到就知道它是否对称。当我让你举一个对称物体的例子时，往往都会想到蝴蝶，雪花或人体。
但是如果我问他们，对称意味着什么时，他们无语了。
下面是Evgeny Evgenievich如何向我解释对称的。“让我们看一下圆桌和方桌，”他指着办公室里的两个桌子。“哪一个相对更对称呢？”
“当然是圆桌，不是很明显吗？”
“但为什么呢？作为一个数学家，你不能用明显这样的词来证明，而要去总结。很多时候，你会惊讶一些看似正确的答案实际上往往是错误的。”
看到我困惑的表情，Evgeny Evgenievich给我一个提示：“决定圆桌看起来更对称的关键是什么呢？”
过来一会，我想到了一点，说到：“我觉得，一个对象的对称的本质就是当我们尝试改变它时，它仍然能保持自己形状和位置的不变。”
Evgeny Evgenievich点点头。
“确实，让我们看一下这两个桌子，在保持形状和位置不变的前提下，我们可以如何移动它们。”他说道：“对于圆桌而言……，”
我打断了他：“围绕中心点的任意旋转角度都可以，我们都会得到一模一样的圆桌。但是如果我们对方桌任意角度旋转的话，方桌的位置很可能会不一样。只有旋转九十度或其倍数的情况下，它才保持自己的形状和位置不变。”
“完全正确！如果你离开我的办公室片刻，而我任意角度旋转圆桌，你不会发现它的不同。但如果我对方桌做同样的事，除非我旋转了九十，一百八，两百七，否则你会注意到它不一样了。”
圆桌旋转任意角度都不会改变其位置，而方桌旋转任意角度（不是九十度的倍数）就会改变其位置（如上图所示）
他继续道：“我们称这样的变换为对称。你可以看到，方桌只有四种对称方式，而圆桌的对称方式则多得多——实际上有无穷多个对称方式。这也是为什么我们说圆桌更对称。”
这个过程意味着很多。
“这还是一个直观客观的观察，”Evgeny Evgenievich继续着，“即使你不是数学家也能看懂这些。但如果你是一个数学家，你就会问下一个问题：对一个已知对象，会有多少种可能的对称方式呢？”
让我们还是以方桌为例。它的对称方式是围绕桌子圆心的四个旋转角度：逆时针分别旋转90,180,270和360。一个数学家会说，方桌对应的对称集合（set）里包含四个元素，分别是90,180,270,360.如下图所示，每个旋转角度各自对应下图4个角中的某一个。
其中有一个特殊的角度，名义上，旋转360度和旋转0度的效果是一样的，都是没有旋转的效果。因为现实中对物体并没有作用，所以这是一个有点特殊的对称元素：桌子的每一个点在旋转结束后都和以前的位置精确的一致。我们称这类元素为单位元。
注意当旋转的角度大于360度时和在0~360度之间旋转的效果是完全一样的。比如，旋转450度和旋转90度的效果响度，因为450 = 360 + 90.这也是为什么只考虑0~360之间的旋转角度。
这里是一些重要的地方：如果我们从{90,180,270,360}队列里面的找出两个元素进行旋转，一个接一个，其结果等同于我们在同一个队列里面旋转了另一个不一样的角度。我们把这种行为称为组合。
当然，很明显，无论怎样组合，桌子的位置都不会改变。因为这种两个对称分别保持位置不变，这个组合的结果也肯定是一种对称（位置不变）。比如，我们旋转了90然后在旋转180，这个结合和旋转270是一样的。
让我们看看这些桌子在对称下会有什么特性。逆时针旋转90度，桌子的右顶点（在上一个图片上用圆球表示的顶点）将会变成上面的顶点，接着我们旋转180度，这是上面的顶点变到了下面。而这个最终结果则是右顶点变成了下面的顶点。这个结果和逆时针旋转270度则是一致的。
这是另一个例子：
首先，我们可以任意组合两个对称元素（一个接一个的旋转角度）
接着，这里有一个特殊的对称，单位元对称（Identity Element）。在我们的例子里，这个单位元对称的角度是零度。如果我们用这个角度和其他任意的对称角度组合的话，我们会获得相同的对称效果（0度不起作用）比如，
最后，对于任意的对称元素S，都会有一个逆的元素，使得两者组合生成的新元素是一个单位元对称元素（相互抵消作用，等于没变化）
这里，我们来到了重点：围绕这三个结构的旋转队列，就是数学家所称的群（group，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成）这个概念。
其他任何对象的对称元素也可以组成一个群，通常会有更多的元素，如果可能，会有无限多个。
让我们看看，如果是圆桌的话，这个组合是什么情况。现在我们对对称已经有了一些认识，我们可以知道圆桌的对称集合就是所有可能的旋转角度（而并不仅仅是九十度的倍数），而且我们可以设想这个集合就是组成一个圆的所有点集。
这个圆上的任意一点都对应0~360之间的一个角度，表示围绕圆桌的圆心，逆时针旋转的角度。有点特殊的是，有一个特殊的点对应旋转零度。它在下面的图片中标记了出来，和它一起的是对应旋转三十度的一个点。
我们不应该把这个圆上的点认为是圆桌上的点，而是认为圆上的每一个点都是圆桌的一个特定的旋转角度。注意，相比我们的圆，圆桌本身并没有一个明显的起始点，这个点能够对应初始化的零度。
现在，让我们来看看在圆中对应的点集合，是否也有如上的三个结构。
第一，ω1和ω2对应两个角度的组合，也就是旋转ω1+ω2，如果ω1+ω2超过了360度，我们可以减掉360度。在数学上，这称之为360的余数。比如，如果ω1是195度，ω2是250度，两个角度的总和为445，而旋转445和旋转85的效果是一样的。所以，在下面的圆桌旋转的群中，我们可以得到：
第二，圆上有一个特殊点对应旋转零度，这个点是圆群的单位元
第三，逆时针旋转的ω角度的可逆点则是逆时针旋转(360-ω)角度，或者对等的是顺时针旋转ω角度（看下面的绘制图）
因此，我们已经描述了圆桌的旋转群。我们称之为圆群(Circle group）。不像方桌的对称群（只有四个元素），这个群有无穷多个元素，因为在0~360度之间有无穷多个角度。
现在我们在理论的层面上，有了一个对对称的直观理解——确实，我们还需要把它转换成一个数学的概念。第一，假设给定对象的对称是保证其和其属性的不变的情况下的一种转换。接下来，则是关键的一步：我们把重点放在给定对象所有对称元素的集合上。方桌是四个元素（九十度的倍数）；圆桌是一个无限集合（圆上的所有点）。最后，我们称这个整洁的结构（neat structure）为对称集合：任意两个对称元素都可以组合生成另一个对称元素，这里存在一个单位元对称元素，而且对于每一个对称元素，都有一个可逆的对称元素。（对称的组合同时也满足页脚备注中对相关属性的描述）。因此，我们得到了数学概念上的群（集合+运算）。
一个对称群是一个抽象的对象，和我们最初提到的具体物质完全的不同。我们不能触摸或者获取一个桌子的对称集合（不像桌子本身），但我们可以设想出来，绘制它的元素，研究，讨论它。每一个抽象集合的元素都有一个具体的意义，比如：它可能表示一个具体对象的一个特殊转换：对称。
数学是类似抽象对象和概念的研究。
经验显示，对称是自然法则中的一项关键性的指导原则。比如，雪花是有一个完美的六边形形成，这被证明是水分子结晶所需要的最低能量状态。雪花的对称是60度的倍数的旋转方式；分别是60,120,180,240,300,和360（和0度效果一样）。另外，我们可以按照雪花的6个轴的任意一个做对应的旋转。所有的这些旋转和反转都保证雪花的形状和位置不变，因此这些就是它的对称。
再比如一只蝴蝶，把他从上向下反转，原先在一侧有腿，反转后没有了（腿被翅膀挡住而看不见了），严格说，这个方式不是蝴蝶的对称。当我们说蝴蝶是对称时，我们说的是一个理想情况下的对称，在这个情况下，他的前后完全的一样（这和实际中的蝴蝶并不一样）。然后反转交换左右翅膀，从而形成了一个对称。（或者，你可以设想不用反转蝴蝶，而只是交换翅膀）
这告诉我们一个重要的信息：自然中的很多物体只是近似对称。一个现实中的桌子不会是完美的圆形或方形，一个现实的蝴蝶的前后面也是不对称的，而人的身体也不完全对称。，尽管如此，考虑抽象的，理想的情况下，模型化一个完美的圆桌，或设想一个前后都没有差别的蝴蝶时，也被证明是非常有用的。接着，我们就会挖掘这些理想对象的对称，从对他们的分析中调整我们的推理，从而总结出显示的物体和它的模型之间的不同处。
这并不是说非对称是没用的；我们也实实在在的在非对称中找到他们的美。但数学理论中的对称的重点不是审美角度的。而是在普遍情况下形成对称概念的公式化，因此也不可避免的用到更为抽象的术语，从而可以以统一的方式应用在不同的领域，比如几何，数论，物理，化学，生物等领域。一旦我们发展了这样的一个理论，我们可以讨论对称结构的那些新的进展——如果你愿意讨论新兴的视觉对称。举个例子，基本粒子取得质量是因为一种它们需要遵循的称之为规范对称性的规范（我们会在第16章讨论）被打破所获得。希格斯波色子的发现（一种难以捉摸的例子，最近在日内瓦LargeHadron Collider所发现）使得这一理论得以证实。类似规范对称性的研究创造了不可估量的的价值，是对基础自然物质的行为的洞察的主要准则。
我想指出一些关于对称抽象理论的基本属性，因为这确实是证明数学为何重要的很好的例子。
第一是通用性。圆群不仅仅只是圆桌的对称群，也可能是其他所有的圆形物体，玻璃杯，瓶子，柱子等等。实际上，我们说给定的物体是圆形的，和我们说它的对称群是一个圆群的意思是一样的。这是一个强有力的声明：我们意识到，我们想描述一个物体重要的属性（round），可以通过描述它的对称群（circle）来实现。同样，方形意味着对称群是如上的四个元素的群。换句话说，同一个抽象数学对象（比如圆群）可以表示很多具体的对象，而且都指向他们所共有的通用性属性（圆）。
第二是客观性。群的概念，和我们各自的理解是独立的。对于任何学习它的人，它的含义都是相同的。当然，为了了解它，我们需要掌握能够表达它的语言，就是数学的语言。但任何人都能学习这门语言。比如，如果你想明白法国作家的一句名言（我思故我在），你就需要懂法语（至少是这句话里面用到的法语单词）——这对任何人都可以学。尽管如此，一旦我们理解了它，还是可能有不同的理解。同样，不同的人会对同样的话的不同理解有不同的意见和判断。对比之下，数学定义上的逻辑一致性则不是主观的解释。进一步讲，它是一种客观的真理。（一般而言，一个特定定理的真实性依赖于它所立足的定理体系。而这些依赖的定理本身也是客观的。）比如，一个圆桌的对称群是一个圆，这对任何人，任何地方在任何时间都是真实的。换句话说，数学的真理是必要的真理，我们会在后面的第十八章讲到。
第三，相对而言，定理的正确性经得住推敲。勾股定理对古希腊人们的意义和她对当代人们的意义是一样的，很少有人会对此生疑，而且也可以肯定，它对未来的人们的意思也是一样的。同样，本书中我们讨论的所有真正的数学声明也是永恒的。
现实中，存在这种客观的，经得住考验的知识（更有甚者，它属于全人类）简直就是奇迹。它揭示了，数学的概念存在于一个隔离于身体和心理的世界之外——那是一个类似柏拉图的数学的世界（我们会在接下来的章节中介绍）。我们至今还不能完全的明白那是什么，也不了解是什么驱动了数学的发现。但明显的是，这个隐蔽的现实注定在我们的生活中发挥越拉越大的作用，特别是新的计算机技术和3D打印的问世。
第四个特质就是数学和物质世界的相关性。比如，在过去的50年里，量子物理取得了长足的进展，这也得益于对称概念在基本粒子和相互之间作用的应用。从这点来看，一个粒子，比如电子或夸克，就类似一个圆桌或雪花，它们的行为很大程度取决于它们的对称特性（一些是完全一致，一些是近似的）。
夸克的发现就是一个很好的例子，说明了数学在其中的作用。读了Evgeny Evgenievich给我的书，我了解道，之前在前面章节讨论的Gell-Mann和Ne‘eman对强子的分类的本质就是一个对称群。数学家早已研究过这个群——尽管数学家并不参与任何和粒子研究相关的内容。数学上对其的命名为SU(3)。这里，S和U表示一个特殊的单体。这种群的属性和球面对称群的属性非常相似，我们会在第十章详细介绍。
数学家很早就描述的SU(3)群的特征，这和描述SU(3)被认为是对称群的方式并不相同。Gell-Mann和Ne’eman注意到了这些表象的结构和他们所发现的强子的模式之间的相似处。他们用这些信息来对强子进行归类。
表现这个词在数学里面是一种特殊的使用方式，这个我们日常的使用方式并不一样。让我们暂时先解释一下在目前的章节里它所代表的意义。或许我先给一个例子会有助于理解。回忆一下之前讨论的圆桌的旋转群，就是一个圆群。现在设想这个桌面全方面的无限扩展。这是我们得到了一个抽象的数学对象：一个平面。这个桌面围绕中心的一次旋转，意味着这个平面绕着该点的一次旋转。因此我们得到了一个法则，这个平面的对称元素就是圆群的每一个元素。换言之，圆群上的每一个元素都可以在这个面的对称群中找到。为此，数学家引入的圆群能够展现这个过程。
现在，平面式一个二维空间，它有两个坐标轴，每个点都有两个坐标（X，Y）：
因此，我们说我们构建了一个旋转群的二维表象。可以简单的认为旋转群中的每一个元素都可以找到对应平面中的对称元素。
当然也有大于两个维度的空间。比如，我们生活的三维空间。它具有三个坐标轴，因此要确定一个点的位置，则需要确定三个坐标（X，Y，Z），如下图所示：
我们无法想象一个四维的空间但是数学家给我们一个通用的语言，让我们可以讨论任意维度的空间。名义上，我们可以用一个四元的数（quadruples of number）来表示一个四维空间的点（X，Y，Z，t），正如同用三元的数（X，Y，Z）来表示三维空间的一个点那样。同理，我们可以用n倍数来表示n维空间中任意一个自然数n的位置。如果你曾经用过制图软件，你应该遇到过n倍数的情况，它们以行的形式出现在表格中，每N个数都对应所存储数据的一个特定属性。，因此，表格中的每一行都对应n维空间的一个点。（我们会在第十章详细讨论空间维度的多样性）。
如果群中的任意一个元素，能够用一致的方式，在n维空间的对称群中找到对应元素，我们认为这个群是n维的一个表象。
已知一个给定群可以表示不同维度的表象。基本粒子可以是8或10个粒子组成的原因正是已知SU(3)群有8维或10维的表象。8个粒子的构建中，一一对应8维空间下的8个坐标轴，同理10个粒子也是如此。（但粒子不能由7或11个粒子组成，正是因为数学家证明了SU(3)群中不可能有7维或11维的表象。）
起先，这是一个方便的方式来让相同属性的粒子组合。但Gell-Mann有了更深入的发现。他假设在分类方案中还有一个深层次的原因。他大概的说到，这个方案的效果非常好，主要因为强子由更小的粒子组成——有时，3或4个粒子所组成的夸克。物理学家独立的创造了一个相似的建议。
这是一个绝妙的建议。不仅打破了当时大众对质子和中子的看法，同时对于强子这种看不见的基本粒子，也认为它们之间的电量就是电子电量的残余。这是一个让人吃惊的预测，因为没人能够看到这样的粒子。当然，不久实验证明，如同预测那样，夸克间确实存在残余的电量。
是什么促使Gell-Mann和Zweig猜测夸克的存在？正是SU(3)群的表象所表现的数学理论。具体说来，SU(3)有两个不同的3维表象。（实际上，正如这个群的名字里面有一个3）。Gell-Mann和Zweig建议，这两种表象应该代表两个不同的基础粒子家族：3个夸克和3个反夸克。证明SU(3)中的8个或10个表象都是由三维构建而成。同时也给了我们一个精确的蓝图，通过夸克了解强子是如何构建——就像乐高玩具。
Gell-Mann认为夸克有三种情况：上，下和奇。一个质子有两个上夸克和一个下夸克组成，而中子由两下一上组成，如同先前我们所看的图片所示。这两种粒子都属于先前章节中图标所示的8重结构。而在8重结构中其他粒子则和上下夸克类似涉及到奇夸克的存在。也有的8重结构中由正反夸克组成。
夸克的发现时一个很好的例子，如同在前言所讨论的一样，揭示了数学在科学中至高无上的作用。这些粒子不是基于经验数据的预测，而是建立在数学对称模式的基础上。这是一个纯粹的理论预测，所用的是一个SU(3)对称群这个成熟的数学理论框架。物理学家花了很多年来掌握这一理论（实际上早起有些人还反对这一看法），但是现在却是基本粒子物理学的给养。它不仅提供了强子的分类，也指引我们发现了夸克，永远的改变了我们队物理现实的理解。
设想一下：看上去高深莫测的数学理论赋予我们力量，使得我们可以直入自然这座堡垒的心脏。我们怎能不被这魔幻般和谐的细小的物质所吸引，如何不为数学揭开宇宙内部的机理的能力所折服？
随着故事的发展，爱因斯坦的妻子Elsa，早在听说位于威尔士观察站的望远镜需要用来确定时空的形状前，说到：“一个月前我丈夫已经在在一个旧的信封背面完成这些工作”。
物理学家确实需要昂贵和熟练的机器，类似位于日内瓦的大型强子对撞机，但让人惊讶的现实是，类似爱因斯坦和Gell-Mann这样的科学家，使用看上去如此纯粹，这么抽象的数学知识来揭开围绕我们的这个世界的最隐蔽的秘密。
不管我们是谁，我们相信什么，我们都共享这些知识。它将我们之间的距离拉近，并让我们对宇宙的爱有了新的意义。