初探数学思维（六）：数学分支介绍：概率论与数理统计

1. 概率论与数理统计（Probability theory and mathematical statistics，常简称概率统计）属于随机数学，研究的是随机现象的统计规律性。
2. 概率论与数理统计是两个并列的数学分支，并无从属关系。统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，关系最密切的是概率论。概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的一种应用。

概率论

一、 概率论的发展史

1. 概率论的目的就是从偶然性中探究必然性，从混沌中探究有序。
2. 古典概率时期，计算概率的工具主要是排列组合。
3. 分析概率时期，以强有力的微积分为工具研究概率。

二、概率论中的重要概念和思想

1. 随机变量
   将试验的结果通过数值来描述，数学上能用一个数表示，这个数是随着试验的结果不同而变化的，即它是样本点的函数，这种量就是随机变量。随机变量是定义在样本空间上的具有某种可测性的实值函数。对于随机变量，人们关心的是它取哪些值以及以怎样的概率取得这些值。这是随机变量与函数的不同之处。

2. 概率的各种定义

• 概率的直观意义—统计概率及概率的统计定义
• 古典概型与概率的古典定义
  （i）有限性；（ii）等可能性。
• 几何概型与几何概率
  （i）无限性；（ii）等可能性。

• 概率的公理化定义

  
  
  

  概率的公理化定义

3. 大数定律
   建立概率接近于1或0的规律是概率论的基本问题之一，大数定律就是反映这个问题的重要结论。

• 伯努利大数定律
• 切比雪夫大数定律
• 马尔科夫大数定律
• 泊松大数定律
• 辛钦大数定律……

4. 正态分布与中心极限定理

• 正态分布（高斯分布）是概率论中最重要的分布。一方面，正态分布是自然界中最常见的一种分布，其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”。另一方面，正态分布具有非常良好的性质，很多分布可以通过正态分布来近似或导出，在理论研究中，正态分布发挥了重要的作用。
• 中心极限定理是概率论基础中较深刻的结果。

三、随机过程

1. 随机过程是现代概率论所研究的主要和活跃的方向。
2. 1826年，布朗（英）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时，发现花粉随时间变化作无规则运动（布朗运动），在每一时刻质点的运动位置是随机变量。
3. 1923年，维纳（美）首次给布朗运动以严格的数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性，描述了随机过程的经典例子——维纳过程。
   维纳（N.Winner，美，1894～1964）
4. 1907年，前苏联数学家马尔科夫提出了一种无后效性的随机过程，即在已知现在状态的条件下，系统将来的演变不依赖于它过去的演变，现统称为马尔科夫过程。
5. 随机过程在科学技术、公共事业中有广泛的应用，如，在军事上，用于火炮自动控制、估计敌机的未来位置；在医学、生物学领域中，用于传染病传播与控制、基因构成分析、遗传模型分析；服务系统——电话维修、病人候诊、水库调度、船舶装卸等。

数理统计

一、统计学的诞生和发展

1. 统计学是研究收集数据、分析数据并据此对所研究的问题做出一定结论的科学和艺术。
2. 统计学要借助于概率论的概念和方法。
3. 单是收集、记录数据并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行整理，对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。
4. 统计相关：指一种非决定性的关系，如人的身高与体重，存在一种大致的关系，表现在身高大（小）时，体重也倾向于大（小），但非决定性的。统计相关的理论把这种关系的程度加以量化。
5. 统计回归：把有统计相关的变量，如身高和体重的关系的形式作近似的估计，建立所谓的回归方程。

二、数理统计的现实意义与应用

1. 数理统计的重要方法举例

数据抽取方法

（2）试验设计问题

• 试验设计（design of experiment，简称DOE）是以概率论和数理统计为理论基础，经济地、科学地安排试验的一项技术。
• DOE将不可控因素去掉，让主要因素显露。
• 正交试验设计
  （3）极大似然估计

2. 数理统计的现实意义与应用

数理统计学的理论和方法与人类活动的各领域都有或多或少的关联。数理统计研究的是带有随机性影响的数据，这正是现实生活中普遍存在的问题。