【算法】所有结点对的最短路径问题

概要

• 可以通过对每个结点运行一次上一章中的最短路径算法，来解决所有结点对的最短路径问题，但效率较低，本章考虑的是用新的算法更高效的解决此问题
• 本章使用邻接矩阵来表示图，边的权重也存储在一个矩阵 W 中，算法的输出存储在矩阵 D 中，还有一个精妙的前驱结点矩阵用于存放路径结果
• 前驱结点矩阵的位置 ij 中存储的是，由 i 到 j 的一条最短路径中，j 的前驱结点
• 由前驱结点矩阵的第 i 行可以诱导出，由结点 i 出发的最短路径树

最短路径和矩阵乘法

这一节是使用动态规划的方法解决所有结点对的最短路径问题，按动态规划的设计方法，有四个步骤

步骤一：分析最优解结构

• 最优解必定是由子问题的最优解构成的，让本章的问题符合这一性质的是引理 24.1，一条最短路径的所有子路径都是最短路径

步骤二：所有结点对最短路径的递归解

• 这一段的分析过程基本没看明白，主要的目的是给出一个递归式，指明由子问题的解如何组成问题的解
• 公式给了两个，第一个公式 25.2 指出了如何由子问题的解组成问题的解，第二个公式 25.3 结合路径权重的场景具体分析，指出大于 n-1 条边的权重矩阵中的权重值都等于 n-1 条边的权重矩阵

步骤三：自底向上计算最短路径权重

• 计算的算法并不出奇，三层 for 循环遍历，利用公式 25.2 进行递归计算（递归应该算作第四次循环）
• 神奇的是这里计算的时候将公式 25.2 转成了矩阵乘法（没明白是如何转换的，数学功力不够），转成矩阵乘法之后算法的表述就变得更简单了，里面的三层 for 循环就是矩阵相乘的过程，外面的递归变成了不断的与同一个矩阵做乘法

步骤三改进：重复平方

• 结合路径权重的场景分析，我们只需要最终的权重矩阵，对计算的中间结果不感兴趣，利用 25.3 给出的性质，递归计算改为平方计算，即中间结果的矩阵与自己相乘，这样找出一个大于 n-1 阶的结果即可
• 这个改进可以将递归中的 O(n) 优化到 O(lgn)

步骤四：构建最优解

• 书中没有给出这一步骤，我思考就是利用概要中给出的方法，由前驱结点矩阵诱导出最短路径树

Floyd-Warshall 算法

• Floyd-Warshall 算法的运行时间为 V 的三次方

Floyd-Warshall 算法也是基于动态规划的思想，但是是从另一个角度思考问题，下面的结构还是按照动态规划的思路组织的

最短路径结构（步骤一）

• Floyd-Warshall 算法考虑的是一条最短路径上的中间结点（实话说从这句话里完全看不清算法的思路）
• 据我的理解，这里的问题和子问题分别是：
  【问题】结点 i 到结点 j 的一条包含的中间结点全部取自 1 ~ k 号结点的最短路径
  【子问题】结点 i 到结点 j 的一条包含的中间结点为全部取自 1 ~ k-1 号结点的最短路径
  通俗一点讲就是，i 到 j 的路径的中间结点只能从 1 ~ k（或者 k-1）号结点中选择，所形成的最短路径

所有结点对最短路径问题的一个递归解（步骤二）

• 给出的递归解是这样的：关于问题 i 到 j 的最短路径，k 阶的 d 表示中间结点全部取自 1 ~ k 号结点的最短路径的权重，递归解说明了如何从 k-1 阶的 d 计算 k 阶的 d，最后计算到 n 阶的 d 就是在整个图中 i 到 j 的最短路径权重

自底向上计算最短路径权重（步骤三）

• 这一段比较好理解，按照递归式进行计算即可，算法非常紧凑，运行时间为 n 的三次方

构建一条最短路径（步骤四）

• 按照概述中的描述，构建最短路径需要通过前驱矩阵进行诱导（生成最短路径树）
• 那么问题就变成了如何构建前驱矩阵，书中说明了两种方法：
  【方法一】由上述算法的计算结果 D 矩阵（由 n 阶的 d 组成的矩阵），来构造前驱矩阵
  【方法二】在计算 D 矩阵的同时计算前驱矩阵，说是同时其实关联并不紧密，只是用到了 D 矩阵的中间结果，即 1 ~ n 阶的 D 矩阵

有向图的传递闭包

• 传递闭包是这样定义的：定义带权重的有向图 G，如果 G 中的结点 i 到 j 存在可以到达的路径，则（i，j）为 G 的传递闭包中的一条边
• 可以利用 Floyd-Warshall 算法计算图的传递闭包：给 G 的每条边赋予权重 1，运行 Floyd-Warshall 算法，结果矩阵 D 中小于 n 的 d 值就代表一条闭包中的边（或许书中的表述更易理解：如果存在一条 i 到 j 的路径，则有 d(ij）< n）
• 还有另外一种方法，用逻辑或 & 逻辑与操作替代 Floyd-Warshall 算法中的 min 和 + 操作（至于为什么可以这样替换我已经放弃思考了，应该是一个不太复杂的数学转换），这样改造后的算法运行会更快，因为逻辑或 & 逻辑与操作要比算法运算更快
• 我们可以利用 Floyd-Warshall 算法在 V 的三次方时间内计算出图的传递闭包

用于稀疏图的 Johnson 算法

• Johnson 算法可以在 O(V²lgV+VE) 内找到所有结点对的最短路径，对于稀疏图，E 比较小，则 Johnson 算法性能优于本章的前两节的算法
• Johnson 算法的思路是对每个结点运行一次 Dijkstra 算法
• Dijkstra 算法要求权重都为非负值，所以这里可能需要（如果所有权重都为非负值则不需要）为每条边重新赋予一个非负值权重，再对带有新的权重的图运行 Dijkstra 算法。其中重新赋予权重要求，新的图的最短路径结果集与原图相同。

重新赋予权重来维持最短路径

• 这一小段讲的是如何计算一组与原图的最短路径相同的新权重
• 引理 25.1（重新赋予权重并不改变最短路径）中的公式 25.9 给出了新权重的计算方法，通过选择一个函数 h，利用公式 25.9 就能够计算出一组最短路径相同的新权重

通过重新赋值来生成非负权重

• 这一小段讲的是如何选择一个合适的函数 h，使得通过公式 25.9 计算出来的新权重都为非负值
• 选择 h 的方法为：向图 G 中添加一个新结点 s，定义 s 到其它所有结点的边的权重都为 0，然后计算由 s 结点出发的单源最短路径结果，函数 h(v) 定义为 s 到 v 的最短路径权重
• 书中同时给出了这样选择函数 h 的正确性的证明，利用三角不等式，简单明了

计算所有结点对之间的最短路径

这一小段给出了 Johnson 算法的具体过程：

• 先插入新结点 s 生成新的图 G‘ 并初始化
• 运行 Bellman-Ford 算法得到 s 的单元最短路径结果，构造函数 h
• 由函数 h 计算新的权重（非负值），形成新的权重矩阵
• 对每个结点运行 Dijkstra 算法（使用新的权重矩阵），得到一个结果矩阵 D’
• 由 D‘ 根据公式 25.9 反向计算出原图 G 的最短路径结果矩阵 D
• 此外，如果还需要构建最短路径，则可以在 D’ 的计算过程中保留前驱矩阵（将 Dijkstra 算法中生成前驱子图记录为前驱矩阵中的一行），这个前驱矩阵也可以作为原图 G (旧的权重矩阵)的前驱矩阵