算法4（Algorithms4）- Part 1 动态连通性（Dynamic Connectivity）2

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算法4（Algorithms4）- Part 1 动态连通性（Dynamic Connectivity）2

8. 应用场景

• 渗析模型（Perocolation）
• 围棋
• 动态连通性
• 最近祖先寻找问题
• 有限状态机的等效问题
• Matlab中处理图像的bwlabel()函数
  ...

9. 渗析模型（Percolation）

9.1 什么是渗析模型（Percolation）

一个在许多物理系统中都有应用的模型。

• N * N 个方格构成的正方形
• 每个方格有 p 的概率是开放的（open）（或者有 1-p 的概率是闭合的（blocked））
• 当且仅当顶部和底部被开放的方格连起来的时候，系统是连通的（percolates）

Percolates

模型	系统化	开放的格子	闭合的格子	连通
电学	电学材料	导体	绝缘体	导电
液体流通	材料	无液体	有液体	渗漏
社交关系	人群	人	空	有共同好友

9.2 连通的概率

取决于方格为空的概率 p。

PercolatesOrNot

当N很大时，理论证实存在一个陡峭的临界点p*。

• p > p*: 基本确信连通
• p < p*: 基本确信不连通

问题： p的值是多少？

9.3 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）

• 初始化一个有N * N个方格的正方形，其中所有方格均是闭合的（blocked）
• 不断随机选取方格，让其开放（open），直到顶部和底部连通停止
• 通过开放的方格数估计p*

9.4 通过动态连通性（Dynamic Connectivity）方法估计连通阈值（percolation threshold）

怎么检测一个 N * N的系统是连通的呢？

• 为每个方格创建一个实例节点，编号从0到N-1
• 如果开放的方格之间有“通路”，说明它们处于同一个分量（Component）（此处参见上一篇文章）
• 当且仅当顶部方格和底部方格支架有通路时，系统连通（暴力算法调用N ^ 2次connected()方法）

一个小技巧：创建两个虚拟的节点，分别连接顶部所有节点和底部所有节点。

• 当虚拟顶部节点和底部节点连通时，整个系统连通（这种情况只需要调用1次connected()方法）

  
  

怎么模拟开放一个新节点？

改变此节点的状态；该节点和相邻的节点中（共4个）开放的节点相连

连通阈值（percolation threshold）
连通阈值p* 是多少？
根据大量的仿真实验得出p* 大约为0.592746。

好的算法是 可以 对科学问题得出较为精确的答案。

9.5 编程作业（Programming Assignment - Percolation）

其中要求实现Percolation.java 和 PercolationStats.java 两个文件。
实现这两个文件之后，打包提交到系统中，系统会对两个文件进行详尽的测试，之后给出分数。

Percolation.java 的 API

具体方法的作用

public class Percolation
public Percolation(int n)	创建一个有 n * n 个节点的阵列，每个节点都是封闭的
public void open(int row, int col)	如果节点(row, col)未打开，将其打开
public boolean isFull(int row, int col)	判断节点(row, col)是否是满的（即与顶部连通）
public int numberOfOpenSites()	已经打开的节点数量
public boolean percolates()	整个系统是否连通

PercolationStats.java 的 API

具体方法的作用

public class PercolationStats
public PercolationStats(int n, int trials)	在 n * n 个节点的阵列上进行trial次独立重复实验
public double mean()	测试用例连通阈值（percolation threshold）的平均值
public double stddev()	连通阈值的平均差
public double confidenceLo()	计算结果95%置信区间的左边界
public double confidenceHi()	计算结果95%置信区间的右边界

通过这些方法能解决的问题

• 方格为空的概率p的值
• 渗析模型（Percolation）中连通阈值（percolation threshold）95%置信区间的范围
• 测试结果的平均差从而得知计算的稳定性
  ...

关于作业，此处不再详述，因为后面会给出代码，代码中有详细的注释。

可参见参考网址中课程作业的地址，其中有详细要求，作业代码的实现也一并在参考网址中给出。

10. 本节课的言外之意

逐渐实现一个可用的算法步骤：

• 对问题建模
• 找出一个能解决它的算法
• 这个算法足够快吗？内存占用如何？
• 如果答案是否的话，找出原因
• 找到解决方法
• 不断迭代上述步骤，直到满足要求

参考网址

[1] 课程作业 （Assignment - Percolation）
[2] 作业的一个实现
[3] 课件下载（Lecture Slides）