常用算法
数学
ax=N 可以记做 x=logaN
时间复杂度
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量
1.一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比，所以 f(n) 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
2.在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的同数量级（它的同数量级有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))
for(i=1; i<=n; ++i)
{
for(j=1; j<=n; ++j)
{
c[i][j] = 0;//该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次
for(k=1; k<=n; ++k)
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次
}
}
则有 T(n) = n 的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有 f(n) = n的三次方，然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c
则该算法的时间复杂度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。
3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。
空间复杂度
而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间
";
//---------------------------------------
// 常用排序算法
//---------------------------------------
//冒泡排序 O(n^2)
function BubbleSort($arr){
$length = count($arr);
if($length<=1){
return $arr;
}
for($i=0;$i<$length;$i++){
for($j=$length-1;$j>$i;$j--){
if($arr[$j]<$arr[$j-1]){
$tmp = $arr[$j];
$arr[$j] = $arr[$j-1];
$arr[$j-1] = $tmp;
}
}
}
return $arr;
}
echo '冒泡排序：';
echo implode(' ',BubbleSort($arr))."
";
//快速排序 时间复杂度O(N*log2n) 不稳定
function QSort($arr){
$length = count($arr);
if($length <=1){
return $arr;
}
$pivot = $arr[0];//枢轴
$left_arr = array();
$right_arr = array();
for($i=1;$i<$length;$i++){//注意$i从1开始0是枢轴
if($arr[$i]<=$pivot){
$left_arr[] = $arr[$i];
}else{
$right_arr[] = $arr[$i];
}
}
$left_arr = QSort($left_arr);//递归排序左半部分
$right_arr = QSort($right_arr);//递归排序右半部份
return array_merge($left_arr,array($pivot),$right_arr);//合并左半部分、枢轴、右半部分
}
echo "快速排序：";
echo implode(' ',QSort($arr))."
";
//选择排序(稳定)---O(N^2）
function SelectSort($arr){
$length = count($arr);
if($length<=1){
return $arr;
}
for($i=0;$i<$length;$i++){
$min = $i;
for($j=$i+1;$j<$length;$j++){
if($arr[$j]<$arr[$min]){
$min = $j;//得出第一次最小的数
}
}
if($i != $min){ //不等于进行替换
$tmp = $arr[$i];
$arr[$i] = $arr[$min];
$arr[$min] = $tmp;
}
}
return $arr;
}
echo "选择排序：";
echo implode(' ',SelectSort($arr))."
";
//插入排序 ---O(N^2）
function InsertSort($arr){
$length = count($arr);
if($length <=1){
return $arr;
}
for($i=1;$i<$length;$i++){
$x = $arr[$i];
$j = $i-1;
while($j>=0 && $x<$arr[$j]){
$arr[$j+1] = $arr[$j];
$j--;
}
if ($arr[$j+1] != $x) {
$arr[$j+1] = $x;
}
}
return $arr;
}
echo '插入排序：';
echo implode(' ',InsertSort($arr))."
";
//---------------------------------------
// 常用查找算法
//---------------------------------------
$target) $high = $mid - 1;
13 #中元素比目标小,查找右部
14 if($arr[$mid] < $target) $low = $mid + 1;
15 }
16
17 #查找失败
18 return false;
19 }
20
21 $arr = array(1, 3, 5, 7, 9, 11);//基于排好序的数组
22 $inx = binarySearch($arr, 1);
23 var_dump($inx);
24 ?>
//顺序查找 时间复杂度O(n)
function SqSearch($arr,$value){
$length = count($arr);
for($i=0;$i<$length;$i++){
if($value == $arr[$i]){
return $i+1;
}
}
return -1;
}
$key = 8;
echo "
顺序常规查找{$key}的位置：";
echo SqSearch($arr,$key);
//---------------------------------------
// 常用数据结构
//---------------------------------------
//线性表的删除(数组实现)
function delete_array_element($arr,$pos){
$length = count($arr);
if($pos<1 || $pos>$length){
return "删除位置出错!";
}
for($i=$pos-1;$i<$length-1;$i++){
$arr[$i] = $arr[$i+1];
}
array_pop($arr);
return $arr;
}
$pos = 3;
echo "
除第{$pos}位置上的元素后：";
echo implode(' ',delete_array_element($arr,$pos))."
";
/**
* Class Node
* PHP模拟链表的基本操作
*/
class Node{
public $data = '';
public $next = null;
}
//初始化
function init($linkList){
$linkList->data = 0; //用来记录链表长度
$linkList->next = null;
}
//头插法创建链表
function createHead(&$linkList,$length){
for($i=0;$i<$length;$i++){
$newNode = new Node();
$newNode->data = $i;
$newNode->next = $linkList->next;//因为PHP中对象本身就是引用所以不用再可用“&”
$linkList->next = $newNode;
$linkList->data++;
}
}
//尾插法创建链表
function createTail(&$linkList,$length){
$r = $linkList;
for($i=0;$i<$length;$i++){
$newNode = new Node();
$newNode->data = $i;
$newNode->next = $r->next;
$r->next = $newNode;
$r = $newNode;
$linkList->data++;
}
}
//在指定位置插入指定元素
function insert($linkList,$pos,$elem){
if($pos<1 && $pos>$linkList->data+1){
echo "插入位置错误！";
}
$p = $linkList;
for($i=1;$i<$pos;$i++){
$p = $p->next;
}
$newNode = new Node();
$newNode->data = $elem;
$newNode->next = $p->next;
$p->next = $newNode;
}
//删除指定位置的元素
function delete($linkList,$pos){
if($pos<1 && $pos>$linkList->data+1){
echo "位置不存在！";
}
$p = $linkList;
for($i=1;$i<$pos;$i++){
$p = $p->next;
}
$q = $p->next;
$p->next = $q->next;
unset($q);
$linkList->data--;
}
//输出链表数据
function show($linkList){
$p = $linkList->next;
while($p!=null){
echo $p->data." ";
$p = $p->next;
}
echo '
';
}
$linkList = new Node();
init($linkList);//初始化
createTail($linkList,10);//尾插法创建链表
show($linkList);//打印出链表
insert($linkList,3,'a');//插入
show($linkList);
delete($linkList,3);//删除
show($linkList);
/**
* Class Stack
* 用PHP模拟顺序栈的基本操作
*/
class Stack{
//用默认值直接初始化栈了，也可用构造方法初始化栈
private $top = -1;
private $maxSize = 5;
private $stack = array();
//入栈
public function push($elem){
if($this->top >= $this->maxSize-1){
echo "栈已满！
";
return;
}
$this->top++;
$this->stack[$this->top] = $elem;
}
//出栈
public function pop(){
if($this->top == -1){
echo "栈是空的！";
return ;
}
$elem = $this->stack[$this->top];
unset($this->stack[$this->top]);
$this->top--;
return $elem;
}
//打印栈
public function show(){
for($i=$this->top;$i>=0;$i--){
echo $this->stack[$i]." ";
}
echo "
";
}
}
$stack = new Stack();
$stack->push(3);
$stack->push(5);
$stack->push(8);
$stack->push(7);
$stack->push(9);
$stack->push(2);
$stack->show();
$stack->pop();
$stack->pop();
$stack->pop();
$stack->show();
/**
* Class Deque
* 使用PHP实现双向队列
*/
class Deque{
private $queue = array();
public function addFirst($item){//头入队
array_unshift($this->queue,$item);
}
public function addLast($item){//尾入队
array_push($this->queue,$item);
}
public function removeFirst(){//头出队
array_shift($this->queue);
}
public function removeLast(){//尾出队
array_pop($this->queue);
}
public function show(){//打印
foreach($this->queue as $item){
echo $item." ";
}
echo "
";
}
}
$deque = new Deque();
$deque->addFirst(2);
$deque->addLast(3);
$deque->addLast(4);
$deque->addFirst(5);
$deque->show();
123.png